다음을 풀어보세요: {l}{9m+6n=123}{9m+5n=113}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 m + 6 n = 123 } \\ { 9 m + 5 n = 113 } \end{array} \right.$$

m, n에 대한 해

$$m=7$$

$$n=10$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$9m+6n=123,9m+5n=113$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 m을(를) 고립시켜 m에 대한 해를 찾습니다.

$$9m+6n=123$$

수식의 양쪽에서 6n을(를) 뺍니다.

$$9m=-6n+123$$

양쪽을 9(으)로 나눕니다.

$$m=\frac{1}{9}\left(-6n+123\right)$$

\frac{1}{9}에 -6n+123을(를) 곱합니다.

$$m=-\frac{2}{3}n+\frac{41}{3}$$

다른 수식 9m+5n=113에서 \frac{-2n+41}{3}을(를) m(으)로 치환합니다.

$$9\left(-\frac{2}{3}n+\frac{41}{3}\right)+5n=113$$

9에 \frac{-2n+41}{3}을(를) 곱합니다.

$$-6n+123+5n=113$$

-6n을(를) 5n에 추가합니다.

$$-n+123=113$$

수식의 양쪽에서 123을(를) 뺍니다.

$$-n=-10$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$n=10$$

m=-\frac{2}{3}n+\frac{41}{3}에서 n을(를) 10(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 m에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$m=-\frac{2}{3}\times 10+\frac{41}{3}$$

-\frac{2}{3}에 10을(를) 곱합니다.

$$m=\frac{-20+41}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{41}{3}을(를) -\frac{20}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$m=7$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$m=7,n=10$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$9m+6n=123,9m+5n=113$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9\times 5-6\times 9}&-\frac{6}{9\times 5-6\times 9}\\-\frac{9}{9\times 5-6\times 9}&\frac{9}{9\times 5-6\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{9}&\frac{2}{3}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{9}\times 123+\frac{2}{3}\times 113\\123-113\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 m 및 n을(를) 추출합니다.

$$m=7,n=10$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$9m+6n=123,9m+5n=113$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 9m+6n=123에서 9m+5n=113을(를) 뺍니다.

$$9m-9m+6n-5n=123-113$$

9m을(를) -9m에 추가합니다. 9m 및 -9m이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$6n-5n=123-113$$

6n을(를) -5n에 추가합니다.

$$n=123-113$$

123을(를) -113에 추가합니다.

$$n=10$$

9m+5n=113에서 n을(를) 10(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 m에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$9m+5\times 10=113$$

5에 10을(를) 곱합니다.

$$9m+50=113$$

수식의 양쪽에서 50을(를) 뺍니다.

$$9m=63$$

양쪽을 9(으)로 나눕니다.

$$m=7$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$m=7,n=10$$