다음을 풀어보세요: {l}{8x-5y=10}{6x-4y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 5 y = 10 } \\ { 6 x - 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7.5$$

$$y=-14$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$8x-5y=10$$

수식의 양쪽에 5y을(를) 더합니다.

$$8x=5y+10$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{8}\left(5y+10\right)$$

\frac{1}{8}에 10+5y을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}$$

다른 수식 6x-4y=11에서 \frac{5}{4}+\frac{5y}{8}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$6\left(\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}\right)-4y=11$$

6에 \frac{5}{4}+\frac{5y}{8}을(를) 곱합니다.

$$\frac{15}{4}y+\frac{15}{2}-4y=11$$

\frac{15y}{4}을(를) -4y에 추가합니다.

$$-\frac{1}{4}y+\frac{15}{2}=11$$

수식의 양쪽에서 \frac{15}{2}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{1}{4}y=\frac{7}{2}$$

양쪽에 -4을(를) 곱합니다.

$$y=-14$$

x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}에서 y을(를) -14(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{5}{8}\left(-14\right)+\frac{5}{4}$$

\frac{5}{8}에 -14을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-35+5}{4}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{5}{4}을(를) -\frac{35}{4}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{15}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}&\frac{8}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{5}{2}\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 10-\frac{5}{2}\times 11\\3\times 10-4\times 11\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{2}\\-14\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

8x 및 6x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 6을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 8을(를) 곱합니다.

$$6\times 8x+6\left(-5\right)y=6\times 10,8\times 6x+8\left(-4\right)y=8\times 11$$

단순화합니다.

$$48x-30y=60,48x-32y=88$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 48x-30y=60에서 48x-32y=88을(를) 뺍니다.

$$48x-48x-30y+32y=60-88$$

48x을(를) -48x에 추가합니다. 48x 및 -48x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-30y+32y=60-88$$

-30y을(를) 32y에 추가합니다.

$$2y=60-88$$

60을(를) -88에 추가합니다.

$$2y=-28$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$y=-14$$

6x-4y=11에서 y을(를) -14(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$6x-4\left(-14\right)=11$$

-4에 -14을(를) 곱합니다.

$$6x+56=11$$

수식의 양쪽에서 56을(를) 뺍니다.

$$6x=-45$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{15}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$