다음을 풀어보세요: {l}{7x+5y=-3}{-9x+y=-11}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 5 y = - 3 } \\ { - 9 x + y = - 11 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=1$$

$$y=-2$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$7x+5y=-3,-9x+y=-11$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$7x+5y=-3$$

수식의 양쪽에서 5y을(를) 뺍니다.

$$7x=-5y-3$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y-3\right)$$

\frac{1}{7}에 -5y-3을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{5}{7}y-\frac{3}{7}$$

다른 수식 -9x+y=-11에서 \frac{-5y-3}{7}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-9\left(-\frac{5}{7}y-\frac{3}{7}\right)+y=-11$$

-9에 \frac{-5y-3}{7}을(를) 곱합니다.

$$\frac{45}{7}y+\frac{27}{7}+y=-11$$

\frac{45y}{7}을(를) y에 추가합니다.

$$\frac{52}{7}y+\frac{27}{7}=-11$$

수식의 양쪽에서 \frac{27}{7}을(를) 뺍니다.

$$\frac{52}{7}y=-\frac{104}{7}$$

수식의 양쪽을 \frac{52}{7}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-2$$

x=-\frac{5}{7}y-\frac{3}{7}에서 y을(를) -2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{5}{7}\left(-2\right)-\frac{3}{7}$$

-\frac{5}{7}에 -2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{10-3}{7}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{3}{7}을(를) \frac{10}{7}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1,y=-2$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$7x+5y=-3,-9x+y=-11$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-5\left(-9\right)}&-\frac{5}{7-5\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{7-5\left(-9\right)}&\frac{7}{7-5\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{52}&-\frac{5}{52}\\\frac{9}{52}&\frac{7}{52}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{52}\left(-3\right)-\frac{5}{52}\left(-11\right)\\\frac{9}{52}\left(-3\right)+\frac{7}{52}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=1,y=-2$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$7x+5y=-3,-9x+y=-11$$

7x 및 -9x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -9을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 7을(를) 곱합니다.

$$-9\times 7x-9\times 5y=-9\left(-3\right),7\left(-9\right)x+7y=7\left(-11\right)$$

단순화합니다.

$$-63x-45y=27,-63x+7y=-77$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -63x-45y=27에서 -63x+7y=-77을(를) 뺍니다.

$$-63x+63x-45y-7y=27+77$$

-63x을(를) 63x에 추가합니다. -63x 및 63x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-45y-7y=27+77$$

-45y을(를) -7y에 추가합니다.

$$-52y=27+77$$

27을(를) 77에 추가합니다.

$$-52y=104$$

양쪽을 -52(으)로 나눕니다.

$$y=-2$$

-9x+y=-11에서 y을(를) -2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-9x-2=-11$$

수식의 양쪽에 2을(를) 더합니다.

$$-9x=-9$$

양쪽을 -9(으)로 나눕니다.

$$x=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1,y=-2$$