다음을 풀어보세요: {l}{6x-5y=-36}{-7x+2y=39}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x - 5 y = - 36 } \\ { - 7 x + 2 y = 39 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = -\frac{123}{23} = -5\frac{8}{23} \approx -5.347826087$$

$$y=\frac{18}{23}\approx 0.782608696$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$6x-5y=-36,-7x+2y=39$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$6x-5y=-36$$

수식의 양쪽에 5y을(를) 더합니다.

$$6x=5y-36$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{6}\left(5y-36\right)$$

\frac{1}{6}에 5y-36을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{5}{6}y-6$$

다른 수식 -7x+2y=39에서 \frac{5y}{6}-6을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-7\left(\frac{5}{6}y-6\right)+2y=39$$

-7에 \frac{5y}{6}-6을(를) 곱합니다.

$$-\frac{35}{6}y+42+2y=39$$

-\frac{35y}{6}을(를) 2y에 추가합니다.

$$-\frac{23}{6}y+42=39$$

수식의 양쪽에서 42을(를) 뺍니다.

$$-\frac{23}{6}y=-3$$

수식의 양쪽을 -\frac{23}{6}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{18}{23}$$

x=\frac{5}{6}y-6에서 y을(를) \frac{18}{23}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{5}{6}\times \frac{18}{23}-6$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{5}{6}에 \frac{18}{23}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{15}{23}-6$$

-6을(를) \frac{15}{23}에 추가합니다.

$$x=-\frac{123}{23}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{123}{23},y=\frac{18}{23}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$6x-5y=-36,-7x+2y=39$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{6\times 2-\left(-5\left(-7\right)\right)}&-\frac{-5}{6\times 2-\left(-5\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{6\times 2-\left(-5\left(-7\right)\right)}&\frac{6}{6\times 2-\left(-5\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{23}&-\frac{5}{23}\\-\frac{7}{23}&-\frac{6}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{23}\left(-36\right)-\frac{5}{23}\times 39\\-\frac{7}{23}\left(-36\right)-\frac{6}{23}\times 39\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{123}{23}\\\frac{18}{23}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-\frac{123}{23},y=\frac{18}{23}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$6x-5y=-36,-7x+2y=39$$

6x 및 -7x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -7을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 6을(를) 곱합니다.

$$-7\times 6x-7\left(-5\right)y=-7\left(-36\right),6\left(-7\right)x+6\times 2y=6\times 39$$

단순화합니다.

$$-42x+35y=252,-42x+12y=234$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -42x+35y=252에서 -42x+12y=234을(를) 뺍니다.

$$-42x+42x+35y-12y=252-234$$

-42x을(를) 42x에 추가합니다. -42x 및 42x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$35y-12y=252-234$$

35y을(를) -12y에 추가합니다.

$$23y=252-234$$

252을(를) -234에 추가합니다.

$$23y=18$$

양쪽을 23(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{18}{23}$$

-7x+2y=39에서 y을(를) \frac{18}{23}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-7x+2\times \frac{18}{23}=39$$

2에 \frac{18}{23}을(를) 곱합니다.

$$-7x+\frac{36}{23}=39$$

수식의 양쪽에서 \frac{36}{23}을(를) 뺍니다.

$$-7x=\frac{861}{23}$$

양쪽을 -7(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{123}{23}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{123}{23},y=\frac{18}{23}$$