다음을 풀어보세요: {l}{6x=7y+4}{2x-14y+1=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x = 7 y + 4 } \\ { 2 x - 14 y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=\frac{9}{10}=0.9$$

$$y=\frac{1}{5}=0.2$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 7y을(를) 뺍니다.

$$6x-7y=4$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 1을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$2x-14y=-1$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$6x-7y=4,2x-14y=-1$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$6x-7y=4$$

수식의 양쪽에 7y을(를) 더합니다.

$$6x=7y+4$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{6}\left(7y+4\right)$$

\frac{1}{6}에 7y+4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{7}{6}y+\frac{2}{3}$$

다른 수식 2x-14y=-1에서 \frac{7y}{6}+\frac{2}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$2\left(\frac{7}{6}y+\frac{2}{3}\right)-14y=-1$$

2에 \frac{7y}{6}+\frac{2}{3}을(를) 곱합니다.

$$\frac{7}{3}y+\frac{4}{3}-14y=-1$$

\frac{7y}{3}을(를) -14y에 추가합니다.

$$-\frac{35}{3}y+\frac{4}{3}=-1$$

수식의 양쪽에서 \frac{4}{3}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{35}{3}y=-\frac{7}{3}$$

수식의 양쪽을 -\frac{35}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{1}{5}$$

x=\frac{7}{6}y+\frac{2}{3}에서 y을(를) \frac{1}{5}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{7}{6}\times \frac{1}{5}+\frac{2}{3}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{7}{6}에 \frac{1}{5}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{7}{30}+\frac{2}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{2}{3}을(를) \frac{7}{30}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{9}{10}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{9}{10},y=\frac{1}{5}$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 7y을(를) 뺍니다.

$$6x-7y=4$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 1을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$2x-14y=-1$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$6x-7y=4,2x-14y=-1$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{6\left(-14\right)-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{6\left(-14\right)-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{6\left(-14\right)-\left(-7\times 2\right)}&\frac{6}{6\left(-14\right)-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\\\frac{1}{35}&-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 4-\frac{1}{10}\left(-1\right)\\\frac{1}{35}\times 4-\frac{3}{35}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{9}{10},y=\frac{1}{5}$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 7y을(를) 뺍니다.

$$6x-7y=4$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 1을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$2x-14y=-1$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$6x-7y=4,2x-14y=-1$$

6x 및 2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 6을(를) 곱합니다.

$$2\times 6x+2\left(-7\right)y=2\times 4,6\times 2x+6\left(-14\right)y=6\left(-1\right)$$

단순화합니다.

$$12x-14y=8,12x-84y=-6$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 12x-14y=8에서 12x-84y=-6을(를) 뺍니다.

$$12x-12x-14y+84y=8+6$$

12x을(를) -12x에 추가합니다. 12x 및 -12x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-14y+84y=8+6$$

-14y을(를) 84y에 추가합니다.

$$70y=8+6$$

8을(를) 6에 추가합니다.

$$70y=14$$

양쪽을 70(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{1}{5}$$

2x-14y=-1에서 y을(를) \frac{1}{5}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2x-14\times \frac{1}{5}=-1$$

-14에 \frac{1}{5}을(를) 곱합니다.

$$2x-\frac{14}{5}=-1$$

수식의 양쪽에 \frac{14}{5}을(를) 더합니다.

$$2x=\frac{9}{5}$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{9}{10}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{9}{10},y=\frac{1}{5}$$