다음을 풀어보세요: {l}{5y=-13-4x}{3x+6y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 y = - 13 - 4 x } \\ { 3 x + 6 y = 13 } \end{array} \right.$$

y, x에 대한 해

$$x = -\frac{143}{9} = -15\frac{8}{9} \approx -15.888888889$$

$$y = \frac{91}{9} = 10\frac{1}{9} \approx 10.111111111$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 4x을(를) 더합니다.

$$5y+4x=-13$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5y+4x=-13,6y+3x=13$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대한 해를 찾습니다.

$$5y+4x=-13$$

수식의 양쪽에서 4x을(를) 뺍니다.

$$5y=-4x-13$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{1}{5}\left(-4x-13\right)$$

\frac{1}{5}에 -4x-13을(를) 곱합니다.

$$y=-\frac{4}{5}x-\frac{13}{5}$$

다른 수식 6y+3x=13에서 \frac{-4x-13}{5}을(를) y(으)로 치환합니다.

$$6\left(-\frac{4}{5}x-\frac{13}{5}\right)+3x=13$$

6에 \frac{-4x-13}{5}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{24}{5}x-\frac{78}{5}+3x=13$$

-\frac{24x}{5}을(를) 3x에 추가합니다.

$$-\frac{9}{5}x-\frac{78}{5}=13$$

수식의 양쪽에 \frac{78}{5}을(를) 더합니다.

$$-\frac{9}{5}x=\frac{143}{5}$$

수식의 양쪽을 -\frac{9}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$x=-\frac{143}{9}$$

y=-\frac{4}{5}x-\frac{13}{5}에서 x을(를) -\frac{143}{9}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y=-\frac{4}{5}\left(-\frac{143}{9}\right)-\frac{13}{5}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{4}{5}에 -\frac{143}{9}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$y=\frac{572}{45}-\frac{13}{5}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{13}{5}을(를) \frac{572}{45}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$y=\frac{91}{9}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=\frac{91}{9},x=-\frac{143}{9}$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 4x을(를) 더합니다.

$$5y+4x=-13$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5y+4x=-13,6y+3x=13$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 6}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 6}\\-\frac{6}{5\times 3-4\times 6}&\frac{5}{5\times 3-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{9}\\\frac{2}{3}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-13\right)+\frac{4}{9}\times 13\\\frac{2}{3}\left(-13\right)-\frac{5}{9}\times 13\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{91}{9}\\-\frac{143}{9}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 y 및 x을(를) 추출합니다.

$$y=\frac{91}{9},x=-\frac{143}{9}$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 4x을(를) 더합니다.

$$5y+4x=-13$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5y+4x=-13,6y+3x=13$$

5y 및 6y을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 6을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱합니다.

$$6\times 5y+6\times 4x=6\left(-13\right),5\times 6y+5\times 3x=5\times 13$$

단순화합니다.

$$30y+24x=-78,30y+15x=65$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 30y+24x=-78에서 30y+15x=65을(를) 뺍니다.

$$30y-30y+24x-15x=-78-65$$

30y을(를) -30y에 추가합니다. 30y 및 -30y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$24x-15x=-78-65$$

24x을(를) -15x에 추가합니다.

$$9x=-78-65$$

-78을(를) -65에 추가합니다.

$$9x=-143$$

양쪽을 9(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{143}{9}$$

6y+3x=13에서 x을(를) -\frac{143}{9}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$6y+3\left(-\frac{143}{9}\right)=13$$

3에 -\frac{143}{9}을(를) 곱합니다.

$$6y-\frac{143}{3}=13$$

수식의 양쪽에 \frac{143}{3}을(를) 더합니다.

$$6y=\frac{182}{3}$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{91}{9}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=\frac{91}{9},x=-\frac{143}{9}$$