다음을 풀어보세요: {l}{5x+7y=71}{8x-3y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 7 y = 71 } \\ { 8 x - 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{283}{71} = 3\frac{70}{71} \approx 3.985915493$$

$$y = \frac{518}{71} = 7\frac{21}{71} \approx 7.295774648$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5x+7y=71,8x-3y=10$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$5x+7y=71$$

수식의 양쪽에서 7y을(를) 뺍니다.

$$5x=-7y+71$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{5}\left(-7y+71\right)$$

\frac{1}{5}에 -7y+71을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{7}{5}y+\frac{71}{5}$$

다른 수식 8x-3y=10에서 \frac{-7y+71}{5}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$8\left(-\frac{7}{5}y+\frac{71}{5}\right)-3y=10$$

8에 \frac{-7y+71}{5}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{56}{5}y+\frac{568}{5}-3y=10$$

-\frac{56y}{5}을(를) -3y에 추가합니다.

$$-\frac{71}{5}y+\frac{568}{5}=10$$

수식의 양쪽에서 \frac{568}{5}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{71}{5}y=-\frac{518}{5}$$

수식의 양쪽을 -\frac{71}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{518}{71}$$

x=-\frac{7}{5}y+\frac{71}{5}에서 y을(를) \frac{518}{71}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{7}{5}\times \frac{518}{71}+\frac{71}{5}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{7}{5}에 \frac{518}{71}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{3626}{355}+\frac{71}{5}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{71}{5}을(를) -\frac{3626}{355}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{283}{71}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{283}{71},y=\frac{518}{71}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5x+7y=71,8x-3y=10$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&7\\8&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}71\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&7\\8&-3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&7\\8&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\10\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\10\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-7\times 8}&-\frac{7}{5\left(-3\right)-7\times 8}\\-\frac{8}{5\left(-3\right)-7\times 8}&\frac{5}{5\left(-3\right)-7\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}71\\10\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{71}&\frac{7}{71}\\\frac{8}{71}&-\frac{5}{71}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}71\\10\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{71}\times 71+\frac{7}{71}\times 10\\\frac{8}{71}\times 71-\frac{5}{71}\times 10\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{283}{71}\\\frac{518}{71}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{283}{71},y=\frac{518}{71}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5x+7y=71,8x-3y=10$$

5x 및 8x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 8을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱합니다.

$$8\times 5x+8\times 7y=8\times 71,5\times 8x+5\left(-3\right)y=5\times 10$$

단순화합니다.

$$40x+56y=568,40x-15y=50$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 40x+56y=568에서 40x-15y=50을(를) 뺍니다.

$$40x-40x+56y+15y=568-50$$

40x을(를) -40x에 추가합니다. 40x 및 -40x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$56y+15y=568-50$$

56y을(를) 15y에 추가합니다.

$$71y=568-50$$

568을(를) -50에 추가합니다.

$$71y=518$$

양쪽을 71(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{518}{71}$$

8x-3y=10에서 y을(를) \frac{518}{71}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$8x-3\times \frac{518}{71}=10$$

-3에 \frac{518}{71}을(를) 곱합니다.

$$8x-\frac{1554}{71}=10$$

수식의 양쪽에 \frac{1554}{71}을(를) 더합니다.

$$8x=\frac{2264}{71}$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{283}{71}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{283}{71},y=\frac{518}{71}$$