다음을 풀어보세요: {l}{5x+2y=3}{7y+12x=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 3 } \\ { 7 y + 12 x = 2 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{17}{11} = 1\frac{6}{11} \approx 1.545454545$$

$$y = -\frac{26}{11} = -2\frac{4}{11} \approx -2.363636364$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5x+2y=3,12x+7y=2$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$5x+2y=3$$

수식의 양쪽에서 2y을(를) 뺍니다.

$$5x=-2y+3$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+3\right)$$

\frac{1}{5}에 -2y+3을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{3}{5}$$

다른 수식 12x+7y=2에서 \frac{-2y+3}{5}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$12\left(-\frac{2}{5}y+\frac{3}{5}\right)+7y=2$$

12에 \frac{-2y+3}{5}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{24}{5}y+\frac{36}{5}+7y=2$$

-\frac{24y}{5}을(를) 7y에 추가합니다.

$$\frac{11}{5}y+\frac{36}{5}=2$$

수식의 양쪽에서 \frac{36}{5}을(를) 뺍니다.

$$\frac{11}{5}y=-\frac{26}{5}$$

수식의 양쪽을 \frac{11}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-\frac{26}{11}$$

x=-\frac{2}{5}y+\frac{3}{5}에서 y을(를) -\frac{26}{11}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{2}{5}\left(-\frac{26}{11}\right)+\frac{3}{5}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{2}{5}에 -\frac{26}{11}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{52}{55}+\frac{3}{5}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{3}{5}을(를) \frac{52}{55}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{17}{11}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{17}{11},y=-\frac{26}{11}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5x+2y=3,12x+7y=2$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-2\times 12}&-\frac{2}{5\times 7-2\times 12}\\-\frac{12}{5\times 7-2\times 12}&\frac{5}{5\times 7-2\times 12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{11}&-\frac{2}{11}\\-\frac{12}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{11}\times 3-\frac{2}{11}\times 2\\-\frac{12}{11}\times 3+\frac{5}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{11}\\-\frac{26}{11}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{17}{11},y=-\frac{26}{11}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5x+2y=3,12x+7y=2$$

5x 및 12x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 12을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱합니다.

$$12\times 5x+12\times 2y=12\times 3,5\times 12x+5\times 7y=5\times 2$$

단순화합니다.

$$60x+24y=36,60x+35y=10$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 60x+24y=36에서 60x+35y=10을(를) 뺍니다.

$$60x-60x+24y-35y=36-10$$

60x을(를) -60x에 추가합니다. 60x 및 -60x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$24y-35y=36-10$$

24y을(를) -35y에 추가합니다.

$$-11y=36-10$$

36을(를) -10에 추가합니다.

$$-11y=26$$

양쪽을 -11(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{26}{11}$$

12x+7y=2에서 y을(를) -\frac{26}{11}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$12x+7\left(-\frac{26}{11}\right)=2$$

7에 -\frac{26}{11}을(를) 곱합니다.

$$12x-\frac{182}{11}=2$$

수식의 양쪽에 \frac{182}{11}을(를) 더합니다.

$$12x=\frac{204}{11}$$

양쪽을 12(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{17}{11}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{17}{11},y=-\frac{26}{11}$$