다음을 풀어보세요: {l}{4x+5y=-14}{-9x-9y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = - 14 } \\ { - 9 x - 9 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=9$$

$$y=-10$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$4x+5y=-14,-9x-9y=9$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$4x+5y=-14$$

수식의 양쪽에서 5y을(를) 뺍니다.

$$4x=-5y-14$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y-14\right)$$

\frac{1}{4}에 -5y-14을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}$$

다른 수식 -9x-9y=9에서 -\frac{5y}{4}-\frac{7}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-9\left(-\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}\right)-9y=9$$

-9에 -\frac{5y}{4}-\frac{7}{2}을(를) 곱합니다.

$$\frac{45}{4}y+\frac{63}{2}-9y=9$$

\frac{45y}{4}을(를) -9y에 추가합니다.

$$\frac{9}{4}y+\frac{63}{2}=9$$

수식의 양쪽에서 \frac{63}{2}을(를) 뺍니다.

$$\frac{9}{4}y=-\frac{45}{2}$$

수식의 양쪽을 \frac{9}{4}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-10$$

x=-\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}에서 y을(를) -10(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{5}{4}\left(-10\right)-\frac{7}{2}$$

-\frac{5}{4}에 -10을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{25-7}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{7}{2}을(를) \frac{25}{2}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=9$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=9,y=-10$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$4x+5y=-14,-9x-9y=9$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\9\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\9\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{4\left(-9\right)-5\left(-9\right)}&-\frac{5}{4\left(-9\right)-5\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{4\left(-9\right)-5\left(-9\right)}&\frac{4}{4\left(-9\right)-5\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\9\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-\frac{5}{9}\\1&\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\9\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-14\right)-\frac{5}{9}\times 9\\-14+\frac{4}{9}\times 9\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=9,y=-10$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$4x+5y=-14,-9x-9y=9$$

4x 및 -9x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -9을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱합니다.

$$-9\times 4x-9\times 5y=-9\left(-14\right),4\left(-9\right)x+4\left(-9\right)y=4\times 9$$

단순화합니다.

$$-36x-45y=126,-36x-36y=36$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -36x-45y=126에서 -36x-36y=36을(를) 뺍니다.

$$-36x+36x-45y+36y=126-36$$

-36x을(를) 36x에 추가합니다. -36x 및 36x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-45y+36y=126-36$$

-45y을(를) 36y에 추가합니다.

$$-9y=126-36$$

126을(를) -36에 추가합니다.

$$-9y=90$$

양쪽을 -9(으)로 나눕니다.

$$y=-10$$

-9x-9y=9에서 y을(를) -10(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-9x-9\left(-10\right)=9$$

-9에 -10을(를) 곱합니다.

$$-9x+90=9$$

수식의 양쪽에서 90을(를) 뺍니다.

$$-9x=-81$$

양쪽을 -9(으)로 나눕니다.

$$x=9$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=9,y=-10$$