다음을 풀어보세요: {l}{3x+4y=1}{2x+3y=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 1 } \\ { 2 x + 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=7$$

$$y=-5$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x+4y=1,2x+3y=-1$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x+4y=1$$

수식의 양쪽에서 4y을(를) 뺍니다.

$$3x=-4y+1$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+1\right)$$

\frac{1}{3}에 -4y+1을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}$$

다른 수식 2x+3y=-1에서 \frac{-4y+1}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$2\left(-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}\right)+3y=-1$$

2에 \frac{-4y+1}{3}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{2}{3}+3y=-1$$

-\frac{8y}{3}을(를) 3y에 추가합니다.

$$\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}=-1$$

수식의 양쪽에서 \frac{2}{3}을(를) 뺍니다.

$$\frac{1}{3}y=-\frac{5}{3}$$

양쪽에 3을(를) 곱합니다.

$$y=-5$$

x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}에서 y을(를) -5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-5\right)+\frac{1}{3}$$

-\frac{4}{3}에 -5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{20+1}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{1}{3}을(를) \frac{20}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=7$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=7,y=-5$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x+4y=1,2x+3y=-1$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-4\times 2}&-\frac{4}{3\times 3-4\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-4\times 2}&\frac{3}{3\times 3-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-4\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-4\left(-1\right)\\-2+3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=7,y=-5$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x+4y=1,2x+3y=-1$$

3x 및 2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$2\times 3x+2\times 4y=2,3\times 2x+3\times 3y=3\left(-1\right)$$

단순화합니다.

$$6x+8y=2,6x+9y=-3$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 6x+8y=2에서 6x+9y=-3을(를) 뺍니다.

$$6x-6x+8y-9y=2+3$$

6x을(를) -6x에 추가합니다. 6x 및 -6x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$8y-9y=2+3$$

8y을(를) -9y에 추가합니다.

$$-y=2+3$$

2을(를) 3에 추가합니다.

$$-y=5$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$y=-5$$

2x+3y=-1에서 y을(를) -5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2x+3\left(-5\right)=-1$$

3에 -5을(를) 곱합니다.

$$2x-15=-1$$

수식의 양쪽에 15을(를) 더합니다.

$$2x=14$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=7$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=7,y=-5$$