다음을 풀어보세요: {l}{3x+2y+4=0}{x(2x-1)-x^2+y=x^2+2y+3}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y + 4 = 0 } \\ { x ( 2 x - 1 ) - x ^ { 2 } + y = x ^ { 2 } + 2 y + 3 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=2$$

$$y=-5$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 4을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$3x+2y=-4$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 x에 2x-1(을)를 곱합니다.

$$2x^{2}-x-x^{2}+y=x^{2}+2y+3$$

2x^{2}과(와) -x^{2}을(를) 결합하여 x^{2}(을)를 구합니다.

$$x^{2}-x+y=x^{2}+2y+3$$

양쪽 모두에서 x^{2}을(를) 뺍니다.

$$x^{2}-x+y-x^{2}=2y+3$$

x^{2}과(와) -x^{2}을(를) 결합하여 0(을)를 구합니다.

$$-x+y=2y+3$$

양쪽 모두에서 2y을(를) 뺍니다.

$$-x+y-2y=3$$

y과(와) -2y을(를) 결합하여 -y(을)를 구합니다.

$$-x-y=3$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x+2y=-4,-x-y=3$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x+2y=-4$$

수식의 양쪽에서 2y을(를) 뺍니다.

$$3x=-2y-4$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y-4\right)$$

\frac{1}{3}에 -2y-4을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}$$

다른 수식 -x-y=3에서 \frac{-2y-4}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-\left(-\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}\right)-y=3$$

-1에 \frac{-2y-4}{3}을(를) 곱합니다.

$$\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}-y=3$$

\frac{2y}{3}을(를) -y에 추가합니다.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}=3$$

수식의 양쪽에서 \frac{4}{3}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{5}{3}$$

양쪽에 -3을(를) 곱합니다.

$$y=-5$$

x=-\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}에서 y을(를) -5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-5\right)-\frac{4}{3}$$

-\frac{2}{3}에 -5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{10-4}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{4}{3}을(를) \frac{10}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=2,y=-5$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 4을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$3x+2y=-4$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 x에 2x-1(을)를 곱합니다.

$$2x^{2}-x-x^{2}+y=x^{2}+2y+3$$

2x^{2}과(와) -x^{2}을(를) 결합하여 x^{2}(을)를 구합니다.

$$x^{2}-x+y=x^{2}+2y+3$$

양쪽 모두에서 x^{2}을(를) 뺍니다.

$$x^{2}-x+y-x^{2}=2y+3$$

x^{2}과(와) -x^{2}을(를) 결합하여 0(을)를 구합니다.

$$-x+y=2y+3$$

양쪽 모두에서 2y을(를) 뺍니다.

$$-x+y-2y=3$$

y과(와) -2y을(를) 결합하여 -y(을)를 구합니다.

$$-x-y=3$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x+2y=-4,-x-y=3$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{3\left(-1\right)-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\left(-1\right)-2\left(-1\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&2\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4+2\times 3\\-\left(-4\right)-3\times 3\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=2,y=-5$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 4을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$3x+2y=-4$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 x에 2x-1(을)를 곱합니다.

$$2x^{2}-x-x^{2}+y=x^{2}+2y+3$$

2x^{2}과(와) -x^{2}을(를) 결합하여 x^{2}(을)를 구합니다.

$$x^{2}-x+y=x^{2}+2y+3$$

양쪽 모두에서 x^{2}을(를) 뺍니다.

$$x^{2}-x+y-x^{2}=2y+3$$

x^{2}과(와) -x^{2}을(를) 결합하여 0(을)를 구합니다.

$$-x+y=2y+3$$

양쪽 모두에서 2y을(를) 뺍니다.

$$-x+y-2y=3$$

y과(와) -2y을(를) 결합하여 -y(을)를 구합니다.

$$-x-y=3$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x+2y=-4,-x-y=3$$

3x 및 -x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$-3x-2y=-\left(-4\right),3\left(-1\right)x+3\left(-1\right)y=3\times 3$$

단순화합니다.

$$-3x-2y=4,-3x-3y=9$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -3x-2y=4에서 -3x-3y=9을(를) 뺍니다.

$$-3x+3x-2y+3y=4-9$$

-3x을(를) 3x에 추가합니다. -3x 및 3x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-2y+3y=4-9$$

-2y을(를) 3y에 추가합니다.

$$y=4-9$$

4을(를) -9에 추가합니다.

$$y=-5$$

-x-y=3에서 y을(를) -5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-x-\left(-5\right)=3$$

수식의 양쪽에서 5을(를) 뺍니다.

$$-x=-2$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$x=2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=2,y=-5$$