다음을 풀어보세요: {l}{3*a+c=5}{a-c=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 \cdot a + c = 5 } \\ { a - c = 7 } \end{array} \right.$$

a, c에 대한 해

$$a=3$$

$$c=-4$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3a+c=5,a-c=7$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 a을(를) 고립시켜 a에 대한 해를 찾습니다.

$$3a+c=5$$

수식의 양쪽에서 c을(를) 뺍니다.

$$3a=-c+5$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$a=\frac{1}{3}\left(-c+5\right)$$

\frac{1}{3}에 -c+5을(를) 곱합니다.

$$a=-\frac{1}{3}c+\frac{5}{3}$$

다른 수식 a-c=7에서 \frac{-c+5}{3}을(를) a(으)로 치환합니다.

$$-\frac{1}{3}c+\frac{5}{3}-c=7$$

-\frac{c}{3}을(를) -c에 추가합니다.

$$-\frac{4}{3}c+\frac{5}{3}=7$$

수식의 양쪽에서 \frac{5}{3}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{4}{3}c=\frac{16}{3}$$

수식의 양쪽을 -\frac{4}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$c=-4$$

a=-\frac{1}{3}c+\frac{5}{3}에서 c을(를) -4(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$a=-\frac{1}{3}\left(-4\right)+\frac{5}{3}$$

-\frac{1}{3}에 -4을(를) 곱합니다.

$$a=\frac{4+5}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{5}{3}을(를) \frac{4}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$a=3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=3,c=-4$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3a+c=5,a-c=7$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}&\frac{3}{3\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5-\frac{3}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 a 및 c을(를) 추출합니다.

$$a=3,c=-4$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3a+c=5,a-c=7$$

3a 및 a을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$3a+c=5,3a+3\left(-1\right)c=3\times 7$$

단순화합니다.

$$3a+c=5,3a-3c=21$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 3a+c=5에서 3a-3c=21을(를) 뺍니다.

$$3a-3a+c+3c=5-21$$

3a을(를) -3a에 추가합니다. 3a 및 -3a이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$c+3c=5-21$$

c을(를) 3c에 추가합니다.

$$4c=5-21$$

5을(를) -21에 추가합니다.

$$4c=-16$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$c=-4$$

a-c=7에서 c을(를) -4(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$a-\left(-4\right)=7$$

수식의 양쪽에서 4을(를) 뺍니다.

$$a=3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=3,c=-4$$