다음을 풀어보세요: {l}{217x+13ny=913}{131x+217y=827}

$$\left. \begin{array} { l } { 217 x + 13 n y = 913 } \\ { 131 x + 217 y = 827 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-\frac{198121-10751n}{1703n-47089}$$

$$y=-\frac{59856}{1703n-47089}$$

$$n\neq \frac{47089}{1703}$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$217x+13ny=913,131x+217y=827$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$217x+13ny=913$$

수식의 양쪽에서 13ny을(를) 뺍니다.

$$217x=\left(-13n\right)y+913$$

양쪽을 217(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{217}\left(\left(-13n\right)y+913\right)$$

\frac{1}{217}에 -13ny+913을(를) 곱합니다.

$$x=\left(-\frac{13n}{217}\right)y+\frac{913}{217}$$

다른 수식 131x+217y=827에서 \frac{-13ny+913}{217}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$131\left(\left(-\frac{13n}{217}\right)y+\frac{913}{217}\right)+217y=827$$

131에 \frac{-13ny+913}{217}을(를) 곱합니다.

$$\left(-\frac{1703n}{217}\right)y+\frac{119603}{217}+217y=827$$

-\frac{1703ny}{217}을(를) 217y에 추가합니다.

$$\left(-\frac{1703n}{217}+217\right)y+\frac{119603}{217}=827$$

수식의 양쪽에서 \frac{119603}{217}을(를) 뺍니다.

$$\left(-\frac{1703n}{217}+217\right)y=\frac{59856}{217}$$

양쪽을 -\frac{1703n}{217}+217(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{59856}{47089-1703n}$$

x=\left(-\frac{13n}{217}\right)y+\frac{913}{217}에서 y을(를) \frac{59856}{47089-1703n}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\left(-\frac{13n}{217}\right)\times \frac{59856}{47089-1703n}+\frac{913}{217}$$

-\frac{13n}{217}에 \frac{59856}{47089-1703n}을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{778128n}{217\left(47089-1703n\right)}+\frac{913}{217}$$

\frac{913}{217}을(를) -\frac{778128n}{217\left(47089-1703n\right)}에 추가합니다.

$$x=\frac{198121-10751n}{47089-1703n}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{198121-10751n}{47089-1703n},y=\frac{59856}{47089-1703n}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$217x+13ny=913,131x+217y=827$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}217&13n\\131&217\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}913\\827\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}217&13n\\131&217\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}217&13n\\131&217\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}217&13n\\131&217\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}217&13n\\131&217\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}913\\827\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}217&13n\\131&217\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}913\\827\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}217&13n\\131&217\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}913\\827\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{217}{217\times 217-13n\times 131}&-\frac{13n}{217\times 217-13n\times 131}\\-\frac{131}{217\times 217-13n\times 131}&\frac{217}{217\times 217-13n\times 131}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}913\\827\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{217}{47089-1703n}&-\frac{13n}{47089-1703n}\\-\frac{131}{47089-1703n}&\frac{217}{47089-1703n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}913\\827\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{217}{47089-1703n}\times 913+\left(-\frac{13n}{47089-1703n}\right)\times 827\\\left(-\frac{131}{47089-1703n}\right)\times 913+\frac{217}{47089-1703n}\times 827\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10751n-198121}{47089-1703n}\\\frac{59856}{47089-1703n}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-\frac{10751n-198121}{47089-1703n},y=\frac{59856}{47089-1703n}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$217x+13ny=913,131x+217y=827$$

217x 및 131x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 131을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 217을(를) 곱합니다.

$$131\times 217x+131\times 13ny=131\times 913,217\times 131x+217\times 217y=217\times 827$$

단순화합니다.

$$28427x+1703ny=119603,28427x+47089y=179459$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 28427x+1703ny=119603에서 28427x+47089y=179459을(를) 뺍니다.

$$28427x-28427x+1703ny-47089y=119603-179459$$

28427x을(를) -28427x에 추가합니다. 28427x 및 -28427x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$1703ny-47089y=119603-179459$$

1703ny을(를) -47089y에 추가합니다.

$$\left(1703n-47089\right)y=119603-179459$$

119603을(를) -179459에 추가합니다.

$$\left(1703n-47089\right)y=-59856$$

양쪽을 1703n-47089(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{59856}{1703n-47089}$$

131x+217y=827에서 y을(를) -\frac{59856}{1703n-47089}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$131x+217\left(-\frac{59856}{1703n-47089}\right)=827$$

217에 -\frac{59856}{1703n-47089}을(를) 곱합니다.

$$131x-\frac{12988752}{1703n-47089}=827$$

수식의 양쪽에 \frac{12988752}{1703n-47089}을(를) 더합니다.

$$131x=\frac{131\left(10751n-198121\right)}{1703n-47089}$$

양쪽을 131(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{10751n-198121}{1703n-47089}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{10751n-198121}{1703n-47089},y=-\frac{59856}{1703n-47089}$$