다음을 풀어보세요: {l}{2x+y-7=0}{17x-11y-8=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y - 7 = 0 } \\ { 17 x - 11 y - 8 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{85}{39} = 2\frac{7}{39} \approx 2.179487179$$

$$y = \frac{103}{39} = 2\frac{25}{39} \approx 2.641025641$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2x+y-7=0$$

수식의 양쪽에 7을(를) 더합니다.

$$2x+y=7$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$2x=-y+7$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+7\right)$$

\frac{1}{2}에 -y+7을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}$$

다른 수식 17x-11y-8=0에서 \frac{-y+7}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$17\left(-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}\right)-11y-8=0$$

17에 \frac{-y+7}{2}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{17}{2}y+\frac{119}{2}-11y-8=0$$

-\frac{17y}{2}을(를) -11y에 추가합니다.

$$-\frac{39}{2}y+\frac{119}{2}-8=0$$

\frac{119}{2}을(를) -8에 추가합니다.

$$-\frac{39}{2}y+\frac{103}{2}=0$$

수식의 양쪽에서 \frac{103}{2}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{39}{2}y=-\frac{103}{2}$$

수식의 양쪽을 -\frac{39}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{103}{39}$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}에서 y을(를) \frac{103}{39}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{103}{39}+\frac{7}{2}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{1}{2}에 \frac{103}{39}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{103}{78}+\frac{7}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{7}{2}을(를) -\frac{103}{78}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{85}{39}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{2\left(-11\right)-17}&-\frac{1}{2\left(-11\right)-17}\\-\frac{17}{2\left(-11\right)-17}&\frac{2}{2\left(-11\right)-17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{39}&\frac{1}{39}\\\frac{17}{39}&-\frac{2}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{39}\times 7+\frac{1}{39}\times 8\\\frac{17}{39}\times 7-\frac{2}{39}\times 8\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{85}{39}\\\frac{103}{39}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

2x 및 17x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 17을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$17\times 2x+17y+17\left(-7\right)=0,2\times 17x+2\left(-11\right)y+2\left(-8\right)=0$$

단순화합니다.

$$34x+17y-119=0,34x-22y-16=0$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 34x+17y-119=0에서 34x-22y-16=0을(를) 뺍니다.

$$34x-34x+17y+22y-119+16=0$$

34x을(를) -34x에 추가합니다. 34x 및 -34x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$17y+22y-119+16=0$$

17y을(를) 22y에 추가합니다.

$$39y-119+16=0$$

-119을(를) 16에 추가합니다.

$$39y-103=0$$

수식의 양쪽에 103을(를) 더합니다.

$$39y=103$$

양쪽을 39(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{103}{39}$$

17x-11y-8=0에서 y을(를) \frac{103}{39}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$17x-11\times \frac{103}{39}-8=0$$

-11에 \frac{103}{39}을(를) 곱합니다.

$$17x-\frac{1133}{39}-8=0$$

-\frac{1133}{39}을(를) -8에 추가합니다.

$$17x-\frac{1445}{39}=0$$

수식의 양쪽에 \frac{1445}{39}을(를) 더합니다.

$$17x=\frac{1445}{39}$$

양쪽을 17(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{85}{39}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$