다음을 풀어보세요: {l}{2x+y=45}{3x+5y=70}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 45 } \\ { 3 x + 5 y = 70 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{155}{7} = 22\frac{1}{7} \approx 22.142857143$$

$$y=\frac{5}{7}\approx 0.714285714$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2x+y=45,3x+5y=70$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2x+y=45$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$2x=-y+45$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+45\right)$$

\frac{1}{2}에 -y+45을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}$$

다른 수식 3x+5y=70에서 \frac{-y+45}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}\right)+5y=70$$

3에 \frac{-y+45}{2}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{135}{2}+5y=70$$

-\frac{3y}{2}을(를) 5y에 추가합니다.

$$\frac{7}{2}y+\frac{135}{2}=70$$

수식의 양쪽에서 \frac{135}{2}을(를) 뺍니다.

$$\frac{7}{2}y=\frac{5}{2}$$

수식의 양쪽을 \frac{7}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{5}{7}$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}에서 y을(를) \frac{5}{7}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{5}{7}+\frac{45}{2}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{1}{2}에 \frac{5}{7}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{5}{14}+\frac{45}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{45}{2}을(를) -\frac{5}{14}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{155}{7}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{155}{7},y=\frac{5}{7}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2x+y=45,3x+5y=70$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3}&-\frac{1}{2\times 5-3}\\-\frac{3}{2\times 5-3}&\frac{2}{2\times 5-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\times 45-\frac{1}{7}\times 70\\-\frac{3}{7}\times 45+\frac{2}{7}\times 70\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{155}{7}\\\frac{5}{7}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{155}{7},y=\frac{5}{7}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2x+y=45,3x+5y=70$$

2x 및 3x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$3\times 2x+3y=3\times 45,2\times 3x+2\times 5y=2\times 70$$

단순화합니다.

$$6x+3y=135,6x+10y=140$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 6x+3y=135에서 6x+10y=140을(를) 뺍니다.

$$6x-6x+3y-10y=135-140$$

6x을(를) -6x에 추가합니다. 6x 및 -6x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$3y-10y=135-140$$

3y을(를) -10y에 추가합니다.

$$-7y=135-140$$

135을(를) -140에 추가합니다.

$$-7y=-5$$

양쪽을 -7(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{5}{7}$$

3x+5y=70에서 y을(를) \frac{5}{7}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3x+5\times \frac{5}{7}=70$$

5에 \frac{5}{7}을(를) 곱합니다.

$$3x+\frac{25}{7}=70$$

수식의 양쪽에서 \frac{25}{7}을(를) 뺍니다.

$$3x=\frac{465}{7}$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{155}{7}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{155}{7},y=\frac{5}{7}$$