다음을 풀어보세요: {l}{2x+5y=9}{2x+y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 9 } \\ { 2 x + y = 13 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=7$$

$$y=-1$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2x+5y=9,2x+y=13$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2x+5y=9$$

수식의 양쪽에서 5y을(를) 뺍니다.

$$2x=-5y+9$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+9\right)$$

\frac{1}{2}에 -5y+9을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{9}{2}$$

다른 수식 2x+y=13에서 \frac{-5y+9}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$2\left(-\frac{5}{2}y+\frac{9}{2}\right)+y=13$$

2에 \frac{-5y+9}{2}을(를) 곱합니다.

$$-5y+9+y=13$$

-5y을(를) y에 추가합니다.

$$-4y+9=13$$

수식의 양쪽에서 9을(를) 뺍니다.

$$-4y=4$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$y=-1$$

x=-\frac{5}{2}y+\frac{9}{2}에서 y을(를) -1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-1\right)+\frac{9}{2}$$

-\frac{5}{2}에 -1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{5+9}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{9}{2}을(를) \frac{5}{2}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=7$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=7,y=-1$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2x+5y=9,2x+y=13$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&5\\2&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-5\times 2}&-\frac{5}{2-5\times 2}\\-\frac{2}{2-5\times 2}&\frac{2}{2-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}&\frac{5}{8}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}\times 9+\frac{5}{8}\times 13\\\frac{1}{4}\times 9-\frac{1}{4}\times 13\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=7,y=-1$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2x+5y=9,2x+y=13$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 2x+5y=9에서 2x+y=13을(를) 뺍니다.

$$2x-2x+5y-y=9-13$$

2x을(를) -2x에 추가합니다. 2x 및 -2x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$5y-y=9-13$$

5y을(를) -y에 추가합니다.

$$4y=9-13$$

9을(를) -13에 추가합니다.

$$4y=-4$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$y=-1$$

2x+y=13에서 y을(를) -1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2x-1=13$$

수식의 양쪽에 1을(를) 더합니다.

$$2x=14$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=7$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=7,y=-1$$