다음을 풀어보세요: {l}{2x+5y=130}{4x+3y=218}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 130 } \\ { 4 x + 3 y = 218 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=50$$

$$y=6$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2x+5y=130,4x+3y=218$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2x+5y=130$$

수식의 양쪽에서 5y을(를) 뺍니다.

$$2x=-5y+130$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+130\right)$$

\frac{1}{2}에 -5y+130을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{5}{2}y+65$$

다른 수식 4x+3y=218에서 -\frac{5y}{2}+65을(를) x(으)로 치환합니다.

$$4\left(-\frac{5}{2}y+65\right)+3y=218$$

4에 -\frac{5y}{2}+65을(를) 곱합니다.

$$-10y+260+3y=218$$

-10y을(를) 3y에 추가합니다.

$$-7y+260=218$$

수식의 양쪽에서 260을(를) 뺍니다.

$$-7y=-42$$

양쪽을 -7(으)로 나눕니다.

$$y=6$$

x=-\frac{5}{2}y+65에서 y을(를) 6(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{5}{2}\times 6+65$$

-\frac{5}{2}에 6을(를) 곱합니다.

$$x=-15+65$$

65을(를) -15에 추가합니다.

$$x=50$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=50,y=6$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2x+5y=130,4x+3y=218$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\218\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\218\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\218\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\218\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-5\times 4}&-\frac{5}{2\times 3-5\times 4}\\-\frac{4}{2\times 3-5\times 4}&\frac{2}{2\times 3-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\218\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{14}&\frac{5}{14}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\218\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{14}\times 130+\frac{5}{14}\times 218\\\frac{2}{7}\times 130-\frac{1}{7}\times 218\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\6\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=50,y=6$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2x+5y=130,4x+3y=218$$

2x 및 4x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$4\times 2x+4\times 5y=4\times 130,2\times 4x+2\times 3y=2\times 218$$

단순화합니다.

$$8x+20y=520,8x+6y=436$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 8x+20y=520에서 8x+6y=436을(를) 뺍니다.

$$8x-8x+20y-6y=520-436$$

8x을(를) -8x에 추가합니다. 8x 및 -8x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$20y-6y=520-436$$

20y을(를) -6y에 추가합니다.

$$14y=520-436$$

520을(를) -436에 추가합니다.

$$14y=84$$

양쪽을 14(으)로 나눕니다.

$$y=6$$

4x+3y=218에서 y을(를) 6(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$4x+3\times 6=218$$

3에 6을(를) 곱합니다.

$$4x+18=218$$

수식의 양쪽에서 18을(를) 뺍니다.

$$4x=200$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=50$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=50,y=6$$