다음을 풀어보세요: {l}{2x+4y=362}{3x+2y=153.5}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 362 } \\ { 3 x + 2 y = 153.5 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-13.75$$

$$y=97.375$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2x+4y=362,3x+2y=153.5$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2x+4y=362$$

수식의 양쪽에서 4y을(를) 뺍니다.

$$2x=-4y+362$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+362\right)$$

\frac{1}{2}에 -4y+362을(를) 곱합니다.

$$x=-2y+181$$

다른 수식 3x+2y=153.5에서 -2y+181을(를) x(으)로 치환합니다.

$$3\left(-2y+181\right)+2y=153.5$$

3에 -2y+181을(를) 곱합니다.

$$-6y+543+2y=153.5$$

-6y을(를) 2y에 추가합니다.

$$-4y+543=153.5$$

수식의 양쪽에서 543을(를) 뺍니다.

$$-4y=-389.5$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$y=97.375$$

x=-2y+181에서 y을(를) 97.375(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-2\times 97.375+181$$

-2에 97.375을(를) 곱합니다.

$$x=-194.75+181$$

181을(를) -194.75에 추가합니다.

$$x=-13.75$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-13.75,y=97.375$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2x+4y=362,3x+2y=153.5$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-4\times 3}&-\frac{4}{2\times 2-4\times 3}\\-\frac{3}{2\times 2-4\times 3}&\frac{2}{2\times 2-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 362+\frac{1}{2}\times 153.5\\\frac{3}{8}\times 362-\frac{1}{4}\times 153.5\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{55}{4}\\\frac{779}{8}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-\frac{55}{4},y=\frac{779}{8}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2x+4y=362,3x+2y=153.5$$

2x 및 3x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$3\times 2x+3\times 4y=3\times 362,2\times 3x+2\times 2y=2\times 153.5$$

단순화합니다.

$$6x+12y=1086,6x+4y=307$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 6x+12y=1086에서 6x+4y=307을(를) 뺍니다.

$$6x-6x+12y-4y=1086-307$$

6x을(를) -6x에 추가합니다. 6x 및 -6x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$12y-4y=1086-307$$

12y을(를) -4y에 추가합니다.

$$8y=1086-307$$

1086을(를) -307에 추가합니다.

$$8y=779$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{779}{8}$$

3x+2y=153.5에서 y을(를) \frac{779}{8}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3x+2\times \frac{779}{8}=153.5$$

2에 \frac{779}{8}을(를) 곱합니다.

$$3x+\frac{779}{4}=153.5$$

수식의 양쪽에서 \frac{779}{4}을(를) 뺍니다.

$$3x=-\frac{165}{4}$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{55}{4}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{55}{4},y=\frac{779}{8}$$