다음을 풀어보세요: {l}{2x+3y=5}{7x=4y-4}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { 7 x = 4 y - 4 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=\frac{8}{29}\approx 0.275862069$$

$$y = \frac{43}{29} = 1\frac{14}{29} \approx 1.482758621$$

치환을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 4y을(를) 뺍니다.

$$7x-4y=-4$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2x+3y=5,7x-4y=-4$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2x+3y=5$$

수식의 양쪽에서 3y을(를) 뺍니다.

$$2x=-3y+5$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

\frac{1}{2}에 -3y+5을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

다른 수식 7x-4y=-4에서 \frac{-3y+5}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$7\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)-4y=-4$$

7에 \frac{-3y+5}{2}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{35}{2}-4y=-4$$

-\frac{21y}{2}을(를) -4y에 추가합니다.

$$-\frac{29}{2}y+\frac{35}{2}=-4$$

수식의 양쪽에서 \frac{35}{2}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{29}{2}y=-\frac{43}{2}$$

수식의 양쪽을 -\frac{29}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{43}{29}$$

x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}에서 y을(를) \frac{43}{29}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{43}{29}+\frac{5}{2}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{3}{2}에 \frac{43}{29}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{129}{58}+\frac{5}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{5}{2}을(를) -\frac{129}{58}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{8}{29}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{8}{29},y=\frac{43}{29}$$

행렬을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 4y을(를) 뺍니다.

$$7x-4y=-4$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2x+3y=5,7x-4y=-4$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 7}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 7}\\-\frac{7}{2\left(-4\right)-3\times 7}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}&\frac{3}{29}\\\frac{7}{29}&-\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}\times 5+\frac{3}{29}\left(-4\right)\\\frac{7}{29}\times 5-\frac{2}{29}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{29}\\\frac{43}{29}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{8}{29},y=\frac{43}{29}$$

소거를 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 4y을(를) 뺍니다.

$$7x-4y=-4$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2x+3y=5,7x-4y=-4$$

2x 및 7x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 7을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$7\times 2x+7\times 3y=7\times 5,2\times 7x+2\left(-4\right)y=2\left(-4\right)$$

단순화합니다.

$$14x+21y=35,14x-8y=-8$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 14x+21y=35에서 14x-8y=-8을(를) 뺍니다.

$$14x-14x+21y+8y=35+8$$

14x을(를) -14x에 추가합니다. 14x 및 -14x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$21y+8y=35+8$$

21y을(를) 8y에 추가합니다.

$$29y=35+8$$

35을(를) 8에 추가합니다.

$$29y=43$$

양쪽을 29(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{43}{29}$$

7x-4y=-4에서 y을(를) \frac{43}{29}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$7x-4\times \frac{43}{29}=-4$$

-4에 \frac{43}{29}을(를) 곱합니다.

$$7x-\frac{172}{29}=-4$$

수식의 양쪽에 \frac{172}{29}을(를) 더합니다.

$$7x=\frac{56}{29}$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{8}{29}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{8}{29},y=\frac{43}{29}$$