다음을 풀어보세요: {l}{2x+2y=6}{7y-5x=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 2 y = 6 } \\ { 7 y - 5 x = 11 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y = \frac{13}{6} = 2\frac{1}{6} \approx 2.166666667$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2x+2y=6,-5x+7y=11$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2x+2y=6$$

수식의 양쪽에서 2y을(를) 뺍니다.

$$2x=-2y+6$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+6\right)$$

\frac{1}{2}에 -2y+6을(를) 곱합니다.

$$x=-y+3$$

다른 수식 -5x+7y=11에서 -y+3을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-5\left(-y+3\right)+7y=11$$

-5에 -y+3을(를) 곱합니다.

$$5y-15+7y=11$$

5y을(를) 7y에 추가합니다.

$$12y-15=11$$

수식의 양쪽에 15을(를) 더합니다.

$$12y=26$$

양쪽을 12(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{13}{6}$$

x=-y+3에서 y을(를) \frac{13}{6}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{13}{6}+3$$

3을(를) -\frac{13}{6}에 추가합니다.

$$x=\frac{5}{6}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{13}{6}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2x+2y=6,-5x+7y=11$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-2\left(-5\right)}&-\frac{2}{2\times 7-2\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{2\times 7-2\left(-5\right)}&\frac{2}{2\times 7-2\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{24}&-\frac{1}{12}\\\frac{5}{24}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{24}\times 6-\frac{1}{12}\times 11\\\frac{5}{24}\times 6+\frac{1}{12}\times 11\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\\frac{13}{6}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{13}{6}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2x+2y=6,-5x+7y=11$$

2x 및 -5x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -5을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$-5\times 2x-5\times 2y=-5\times 6,2\left(-5\right)x+2\times 7y=2\times 11$$

단순화합니다.

$$-10x-10y=-30,-10x+14y=22$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -10x-10y=-30에서 -10x+14y=22을(를) 뺍니다.

$$-10x+10x-10y-14y=-30-22$$

-10x을(를) 10x에 추가합니다. -10x 및 10x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-10y-14y=-30-22$$

-10y을(를) -14y에 추가합니다.

$$-24y=-30-22$$

-30을(를) -22에 추가합니다.

$$-24y=-52$$

양쪽을 -24(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{13}{6}$$

-5x+7y=11에서 y을(를) \frac{13}{6}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-5x+7\times \frac{13}{6}=11$$

7에 \frac{13}{6}을(를) 곱합니다.

$$-5x+\frac{91}{6}=11$$

수식의 양쪽에서 \frac{91}{6}을(를) 뺍니다.

$$-5x=-\frac{25}{6}$$

양쪽을 -5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{5}{6}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{13}{6}$$