다음을 풀어보세요: {l}{18x-14y=-5}{18x+2y=-20}

$$\left. \begin{array} { l } { 18 x - 14 y = - 5 } \\ { 18 x + 2 y = - 20 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = -\frac{145}{144} = -1\frac{1}{144} \approx -1.006944444$$

$$y=-\frac{15}{16}=-0.9375$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$18x-14y=-5,18x+2y=-20$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$18x-14y=-5$$

수식의 양쪽에 14y을(를) 더합니다.

$$18x=14y-5$$

양쪽을 18(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{18}\left(14y-5\right)$$

\frac{1}{18}에 14y-5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{7}{9}y-\frac{5}{18}$$

다른 수식 18x+2y=-20에서 \frac{7y}{9}-\frac{5}{18}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$18\left(\frac{7}{9}y-\frac{5}{18}\right)+2y=-20$$

18에 \frac{7y}{9}-\frac{5}{18}을(를) 곱합니다.

$$14y-5+2y=-20$$

14y을(를) 2y에 추가합니다.

$$16y-5=-20$$

수식의 양쪽에 5을(를) 더합니다.

$$16y=-15$$

양쪽을 16(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{15}{16}$$

x=\frac{7}{9}y-\frac{5}{18}에서 y을(를) -\frac{15}{16}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{7}{9}\left(-\frac{15}{16}\right)-\frac{5}{18}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{7}{9}에 -\frac{15}{16}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{35}{48}-\frac{5}{18}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{5}{18}을(를) -\frac{35}{48}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{145}{144}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{145}{144},y=-\frac{15}{16}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$18x-14y=-5,18x+2y=-20$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}&-\frac{-14}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}\\-\frac{18}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}&\frac{18}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{144}&\frac{7}{144}\\-\frac{1}{16}&\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{144}\left(-5\right)+\frac{7}{144}\left(-20\right)\\-\frac{1}{16}\left(-5\right)+\frac{1}{16}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{145}{144}\\-\frac{15}{16}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-\frac{145}{144},y=-\frac{15}{16}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$18x-14y=-5,18x+2y=-20$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 18x-14y=-5에서 18x+2y=-20을(를) 뺍니다.

$$18x-18x-14y-2y=-5+20$$

18x을(를) -18x에 추가합니다. 18x 및 -18x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-14y-2y=-5+20$$

-14y을(를) -2y에 추가합니다.

$$-16y=-5+20$$

-5을(를) 20에 추가합니다.

$$-16y=15$$

양쪽을 -16(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{15}{16}$$

18x+2y=-20에서 y을(를) -\frac{15}{16}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$18x+2\left(-\frac{15}{16}\right)=-20$$

2에 -\frac{15}{16}을(를) 곱합니다.

$$18x-\frac{15}{8}=-20$$

수식의 양쪽에 \frac{15}{8}을(를) 더합니다.

$$18x=-\frac{145}{8}$$

양쪽을 18(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{145}{144}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{145}{144},y=-\frac{15}{16}$$