다음을 풀어보세요: {l}{-x-3y=12}{-5x-9y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 3 y = 12 } \\ { - 5 x - 9 y = 18 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=9$$

$$y=-7$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-x-3y=12,-5x-9y=18$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-x-3y=12$$

수식의 양쪽에 3y을(를) 더합니다.

$$-x=3y+12$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$x=-\left(3y+12\right)$$

-1에 12+3y을(를) 곱합니다.

$$x=-3y-12$$

다른 수식 -5x-9y=18에서 -3y-12을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-5\left(-3y-12\right)-9y=18$$

-5에 -3y-12을(를) 곱합니다.

$$15y+60-9y=18$$

15y을(를) -9y에 추가합니다.

$$6y+60=18$$

수식의 양쪽에서 60을(를) 뺍니다.

$$6y=-42$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$y=-7$$

x=-3y-12에서 y을(를) -7(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-3\left(-7\right)-12$$

-3에 -7을(를) 곱합니다.

$$x=21-12$$

-12을(를) 21에 추가합니다.

$$x=9$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=9,y=-7$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-x-3y=12,-5x-9y=18$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-\left(-9\right)-\left(-3\left(-5\right)\right)}&-\frac{-3}{-\left(-9\right)-\left(-3\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-\left(-9\right)-\left(-3\left(-5\right)\right)}&-\frac{1}{-\left(-9\right)-\left(-3\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 12-\frac{1}{2}\times 18\\-\frac{5}{6}\times 12+\frac{1}{6}\times 18\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-7\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=9,y=-7$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-x-3y=12,-5x-9y=18$$

-x 및 -5x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -5을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -1을(를) 곱합니다.

$$-5\left(-1\right)x-5\left(-3\right)y=-5\times 12,-\left(-5\right)x-\left(-9y\right)=-18$$

단순화합니다.

$$5x+15y=-60,5x+9y=-18$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 5x+15y=-60에서 5x+9y=-18을(를) 뺍니다.

$$5x-5x+15y-9y=-60+18$$

5x을(를) -5x에 추가합니다. 5x 및 -5x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$15y-9y=-60+18$$

15y을(를) -9y에 추가합니다.

$$6y=-60+18$$

-60을(를) 18에 추가합니다.

$$6y=-42$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$y=-7$$

-5x-9y=18에서 y을(를) -7(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-5x-9\left(-7\right)=18$$

-9에 -7을(를) 곱합니다.

$$-5x+63=18$$

수식의 양쪽에서 63을(를) 뺍니다.

$$-5x=-45$$

양쪽을 -5(으)로 나눕니다.

$$x=9$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=9,y=-7$$