다음을 풀어보세요: {l}{-x+y=2}{2y=9x+9}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + y = 2 } \\ { 2 y = 9 x + 9 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-\frac{5}{7}\approx -0.714285714$$

$$y = \frac{9}{7} = 1\frac{2}{7} \approx 1.285714286$$

치환을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 9x을(를) 뺍니다.

$$2y-9x=9$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-x+y=2,-9x+2y=9$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-x+y=2$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$-x=-y+2$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$x=-\left(-y+2\right)$$

-1에 -y+2을(를) 곱합니다.

$$x=y-2$$

다른 수식 -9x+2y=9에서 y-2을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-9\left(y-2\right)+2y=9$$

-9에 y-2을(를) 곱합니다.

$$-9y+18+2y=9$$

-9y을(를) 2y에 추가합니다.

$$-7y+18=9$$

수식의 양쪽에서 18을(를) 뺍니다.

$$-7y=-9$$

양쪽을 -7(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{9}{7}$$

x=y-2에서 y을(를) \frac{9}{7}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{9}{7}-2$$

-2을(를) \frac{9}{7}에 추가합니다.

$$x=-\frac{5}{7}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{5}{7},y=\frac{9}{7}$$

행렬을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 9x을(를) 뺍니다.

$$2y-9x=9$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-x+y=2,-9x+2y=9$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-\left(-9\right)}&-\frac{1}{-2-\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{-2-\left(-9\right)}&-\frac{1}{-2-\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\\\frac{9}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 2-\frac{1}{7}\times 9\\\frac{9}{7}\times 2-\frac{1}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{7}\\\frac{9}{7}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-\frac{5}{7},y=\frac{9}{7}$$

소거를 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 9x을(를) 뺍니다.

$$2y-9x=9$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-x+y=2,-9x+2y=9$$

-x 및 -9x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -9을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -1을(를) 곱합니다.

$$-9\left(-1\right)x-9y=-9\times 2,-\left(-9\right)x-2y=-9$$

단순화합니다.

$$9x-9y=-18,9x-2y=-9$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 9x-9y=-18에서 9x-2y=-9을(를) 뺍니다.

$$9x-9x-9y+2y=-18+9$$

9x을(를) -9x에 추가합니다. 9x 및 -9x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-9y+2y=-18+9$$

-9y을(를) 2y에 추가합니다.

$$-7y=-18+9$$

-18을(를) 9에 추가합니다.

$$-7y=-9$$

양쪽을 -7(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{9}{7}$$

-9x+2y=9에서 y을(를) \frac{9}{7}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-9x+2\times \frac{9}{7}=9$$

2에 \frac{9}{7}을(를) 곱합니다.

$$-9x+\frac{18}{7}=9$$

수식의 양쪽에서 \frac{18}{7}을(를) 뺍니다.

$$-9x=\frac{45}{7}$$

양쪽을 -9(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{5}{7}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{5}{7},y=\frac{9}{7}$$