다음을 풀어보세요: {l}{-8x-9y=-10}{-4x-3y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x - 9 y = - 10 } \\ { - 4 x - 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-10$$

$$y=10$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-8x-9y=-10,-4x-3y=10$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-8x-9y=-10$$

수식의 양쪽에 9y을(를) 더합니다.

$$-8x=9y-10$$

양쪽을 -8(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{1}{8}\left(9y-10\right)$$

-\frac{1}{8}에 9y-10을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{9}{8}y+\frac{5}{4}$$

다른 수식 -4x-3y=10에서 -\frac{9y}{8}+\frac{5}{4}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-4\left(-\frac{9}{8}y+\frac{5}{4}\right)-3y=10$$

-4에 -\frac{9y}{8}+\frac{5}{4}을(를) 곱합니다.

$$\frac{9}{2}y-5-3y=10$$

\frac{9y}{2}을(를) -3y에 추가합니다.

$$\frac{3}{2}y-5=10$$

수식의 양쪽에 5을(를) 더합니다.

$$\frac{3}{2}y=15$$

수식의 양쪽을 \frac{3}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=10$$

x=-\frac{9}{8}y+\frac{5}{4}에서 y을(를) 10(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{9}{8}\times 10+\frac{5}{4}$$

-\frac{9}{8}에 10을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-45+5}{4}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{5}{4}을(를) -\frac{45}{4}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-10$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-10,y=10$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-8x-9y=-10,-4x-3y=10$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-8\left(-3\right)-\left(-9\left(-4\right)\right)}&-\frac{-9}{-8\left(-3\right)-\left(-9\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{-8\left(-3\right)-\left(-9\left(-4\right)\right)}&-\frac{8}{-8\left(-3\right)-\left(-9\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-10\right)-\frac{3}{4}\times 10\\-\frac{1}{3}\left(-10\right)+\frac{2}{3}\times 10\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-10,y=10$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-8x-9y=-10,-4x-3y=10$$

-8x 및 -4x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -8을(를) 곱합니다.

$$-4\left(-8\right)x-4\left(-9\right)y=-4\left(-10\right),-8\left(-4\right)x-8\left(-3\right)y=-8\times 10$$

단순화합니다.

$$32x+36y=40,32x+24y=-80$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 32x+36y=40에서 32x+24y=-80을(를) 뺍니다.

$$32x-32x+36y-24y=40+80$$

32x을(를) -32x에 추가합니다. 32x 및 -32x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$36y-24y=40+80$$

36y을(를) -24y에 추가합니다.

$$12y=40+80$$

40을(를) 80에 추가합니다.

$$12y=120$$

양쪽을 12(으)로 나눕니다.

$$y=10$$

-4x-3y=10에서 y을(를) 10(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-4x-3\times 10=10$$

-3에 10을(를) 곱합니다.

$$-4x-30=10$$

수식의 양쪽에 30을(를) 더합니다.

$$-4x=40$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$x=-10$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-10,y=10$$