다음을 풀어보세요: {l}{-8x+4y=12}{8x-3y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x + 4 y = 12 } \\ { 8 x - 3 y = - 3 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=3$$

$$y=9$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-8x+4y=12,8x-3y=-3$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-8x+4y=12$$

수식의 양쪽에서 4y을(를) 뺍니다.

$$-8x=-4y+12$$

양쪽을 -8(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-4y+12\right)$$

-\frac{1}{8}에 -4y+12을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}$$

다른 수식 8x-3y=-3에서 \frac{-3+y}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$8\left(\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)-3y=-3$$

8에 \frac{-3+y}{2}을(를) 곱합니다.

$$4y-12-3y=-3$$

4y을(를) -3y에 추가합니다.

$$y-12=-3$$

수식의 양쪽에 12을(를) 더합니다.

$$y=9$$

x=\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}에서 y을(를) 9(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{1}{2}\times 9-\frac{3}{2}$$

\frac{1}{2}에 9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{9-3}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{3}{2}을(를) \frac{9}{2}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=3,y=9$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-8x+4y=12,8x-3y=-3$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-8\left(-3\right)-4\times 8}&-\frac{4}{-8\left(-3\right)-4\times 8}\\-\frac{8}{-8\left(-3\right)-4\times 8}&-\frac{8}{-8\left(-3\right)-4\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&\frac{1}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 12+\frac{1}{2}\left(-3\right)\\12-3\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=3,y=9$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-8x+4y=12,8x-3y=-3$$

-8x 및 8x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 8을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -8을(를) 곱합니다.

$$8\left(-8\right)x+8\times 4y=8\times 12,-8\times 8x-8\left(-3\right)y=-8\left(-3\right)$$

단순화합니다.

$$-64x+32y=96,-64x+24y=24$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -64x+32y=96에서 -64x+24y=24을(를) 뺍니다.

$$-64x+64x+32y-24y=96-24$$

-64x을(를) 64x에 추가합니다. -64x 및 64x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$32y-24y=96-24$$

32y을(를) -24y에 추가합니다.

$$8y=96-24$$

96을(를) -24에 추가합니다.

$$8y=72$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$y=9$$

8x-3y=-3에서 y을(를) 9(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$8x-3\times 9=-3$$

-3에 9을(를) 곱합니다.

$$8x-27=-3$$

수식의 양쪽에 27을(를) 더합니다.

$$8x=24$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$x=3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=3,y=9$$