다음을 풀어보세요: {l}{-3y+4x=13}{-5y-6x=-67}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 y + 4 x = 13 } \\ { - 5 y - 6 x = - 67 } \end{array} \right.$$

y, x에 대한 해

$$x=7$$

$$y=5$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대한 해를 찾습니다.

$$-3y+4x=13$$

수식의 양쪽에서 4x을(를) 뺍니다.

$$-3y=-4x+13$$

양쪽을 -3(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{1}{3}\left(-4x+13\right)$$

-\frac{1}{3}에 -4x+13을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}$$

다른 수식 -5y-6x=-67에서 \frac{4x-13}{3}을(를) y(으)로 치환합니다.

$$-5\left(\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}\right)-6x=-67$$

-5에 \frac{4x-13}{3}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{20}{3}x+\frac{65}{3}-6x=-67$$

-\frac{20x}{3}을(를) -6x에 추가합니다.

$$-\frac{38}{3}x+\frac{65}{3}=-67$$

수식의 양쪽에서 \frac{65}{3}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{38}{3}x=-\frac{266}{3}$$

수식의 양쪽을 -\frac{38}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$x=7$$

y=\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}에서 x을(를) 7(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y=\frac{4}{3}\times 7-\frac{13}{3}$$

\frac{4}{3}에 7을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{28-13}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{13}{3}을(를) \frac{28}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$y=5$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=5,x=7$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}&-\frac{4}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}&-\frac{3}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\\\frac{5}{38}&-\frac{3}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{19}\times 13-\frac{2}{19}\left(-67\right)\\\frac{5}{38}\times 13-\frac{3}{38}\left(-67\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 y 및 x을(를) 추출합니다.

$$y=5,x=7$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

-3y 및 -5y을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -5을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -3을(를) 곱합니다.

$$-5\left(-3\right)y-5\times 4x=-5\times 13,-3\left(-5\right)y-3\left(-6\right)x=-3\left(-67\right)$$

단순화합니다.

$$15y-20x=-65,15y+18x=201$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 15y-20x=-65에서 15y+18x=201을(를) 뺍니다.

$$15y-15y-20x-18x=-65-201$$

15y을(를) -15y에 추가합니다. 15y 및 -15y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-20x-18x=-65-201$$

-20x을(를) -18x에 추가합니다.

$$-38x=-65-201$$

-65을(를) -201에 추가합니다.

$$-38x=-266$$

양쪽을 -38(으)로 나눕니다.

$$x=7$$

-5y-6x=-67에서 x을(를) 7(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-5y-6\times 7=-67$$

-6에 7을(를) 곱합니다.

$$-5y-42=-67$$

수식의 양쪽에 42을(를) 더합니다.

$$-5y=-25$$

양쪽을 -5(으)로 나눕니다.

$$y=5$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=5,x=7$$