다음을 풀어보세요: {l}{(x-2)(y+5)=(x-1)(y+2)}{(y-3)(x+4)=(x+7)(y-4)}

$$\left. \begin{array} { l } { ( x - 2 ) ( y + 5 ) = ( x - 1 ) ( y + 2 ) } \\ { ( y - 3 ) ( x + 4 ) = ( x + 7 ) ( y - 4 ) } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=5$$

$$y=7$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 x-2에 y+5(을)를 곱합니다.

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

분배 법칙을 사용하여 x-1에 y+2(을)를 곱합니다.

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

양쪽 모두에서 xy을(를) 뺍니다.

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

xy과(와) -xy을(를) 결합하여 0(을)를 구합니다.

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

5x과(와) -2x을(를) 결합하여 3x(을)를 구합니다.

$$3x-2y-10=-y-2$$

양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$3x-2y-10+y=-2$$

-2y과(와) y을(를) 결합하여 -y(을)를 구합니다.

$$3x-y-10=-2$$

양쪽에 10을(를) 더합니다.

$$3x-y=-2+10$$

-2과(와) 10을(를) 더하여 8을(를) 구합니다.

$$3x-y=8$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 y-3에 x+4(을)를 곱합니다.

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

분배 법칙을 사용하여 x+7에 y-4(을)를 곱합니다.

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

양쪽 모두에서 xy을(를) 뺍니다.

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

yx과(와) -xy을(를) 결합하여 0(을)를 구합니다.

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

양쪽에 4x을(를) 더합니다.

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

-3x과(와) 4x을(를) 결합하여 x(을)를 구합니다.

$$4y+x-12=7y-28$$

양쪽 모두에서 7y을(를) 뺍니다.

$$4y+x-12-7y=-28$$

4y과(와) -7y을(를) 결합하여 -3y(을)를 구합니다.

$$-3y+x-12=-28$$

양쪽에 12을(를) 더합니다.

$$-3y+x=-28+12$$

-28과(와) 12을(를) 더하여 -16을(를) 구합니다.

$$-3y+x=-16$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x-y=8$$

수식의 양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$3x=y+8$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+8\right)$$

\frac{1}{3}에 y+8을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}$$

다른 수식 x-3y=-16에서 \frac{8+y}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}-3y=-16$$

\frac{y}{3}을(를) -3y에 추가합니다.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{8}{3}=-16$$

수식의 양쪽에서 \frac{8}{3}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{8}{3}y=-\frac{56}{3}$$

수식의 양쪽을 -\frac{8}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=7$$

x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}에서 y을(를) 7(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{1}{3}\times 7+\frac{8}{3}$$

\frac{1}{3}에 7을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{7+8}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{8}{3}을(를) \frac{7}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=5$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=5,y=7$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 x-2에 y+5(을)를 곱합니다.

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

분배 법칙을 사용하여 x-1에 y+2(을)를 곱합니다.

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

양쪽 모두에서 xy을(를) 뺍니다.

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

xy과(와) -xy을(를) 결합하여 0(을)를 구합니다.

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

5x과(와) -2x을(를) 결합하여 3x(을)를 구합니다.

$$3x-2y-10=-y-2$$

양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$3x-2y-10+y=-2$$

-2y과(와) y을(를) 결합하여 -y(을)를 구합니다.

$$3x-y-10=-2$$

양쪽에 10을(를) 더합니다.

$$3x-y=-2+10$$

-2과(와) 10을(를) 더하여 8을(를) 구합니다.

$$3x-y=8$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 y-3에 x+4(을)를 곱합니다.

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

분배 법칙을 사용하여 x+7에 y-4(을)를 곱합니다.

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

양쪽 모두에서 xy을(를) 뺍니다.

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

yx과(와) -xy을(를) 결합하여 0(을)를 구합니다.

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

양쪽에 4x을(를) 더합니다.

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

-3x과(와) 4x을(를) 결합하여 x(을)를 구합니다.

$$4y+x-12=7y-28$$

양쪽 모두에서 7y을(를) 뺍니다.

$$4y+x-12-7y=-28$$

4y과(와) -7y을(를) 결합하여 -3y(을)를 구합니다.

$$-3y+x-12=-28$$

양쪽에 12을(를) 더합니다.

$$-3y+x=-28+12$$

-28과(와) 12을(를) 더하여 -16을(를) 구합니다.

$$-3y+x=-16$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\\\frac{1}{8}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 8-\frac{1}{8}\left(-16\right)\\\frac{1}{8}\times 8-\frac{3}{8}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=5,y=7$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 x-2에 y+5(을)를 곱합니다.

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

분배 법칙을 사용하여 x-1에 y+2(을)를 곱합니다.

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

양쪽 모두에서 xy을(를) 뺍니다.

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

xy과(와) -xy을(를) 결합하여 0(을)를 구합니다.

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

5x과(와) -2x을(를) 결합하여 3x(을)를 구합니다.

$$3x-2y-10=-y-2$$

양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$3x-2y-10+y=-2$$

-2y과(와) y을(를) 결합하여 -y(을)를 구합니다.

$$3x-y-10=-2$$

양쪽에 10을(를) 더합니다.

$$3x-y=-2+10$$

-2과(와) 10을(를) 더하여 8을(를) 구합니다.

$$3x-y=8$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 y-3에 x+4(을)를 곱합니다.

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

분배 법칙을 사용하여 x+7에 y-4(을)를 곱합니다.

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

양쪽 모두에서 xy을(를) 뺍니다.

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

yx과(와) -xy을(를) 결합하여 0(을)를 구합니다.

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

양쪽에 4x을(를) 더합니다.

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

-3x과(와) 4x을(를) 결합하여 x(을)를 구합니다.

$$4y+x-12=7y-28$$

양쪽 모두에서 7y을(를) 뺍니다.

$$4y+x-12-7y=-28$$

4y과(와) -7y을(를) 결합하여 -3y(을)를 구합니다.

$$-3y+x-12=-28$$

양쪽에 12을(를) 더합니다.

$$-3y+x=-28+12$$

-28과(와) 12을(를) 더하여 -16을(를) 구합니다.

$$-3y+x=-16$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

3x 및 x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$3x-y=8,3x+3\left(-3\right)y=3\left(-16\right)$$

단순화합니다.

$$3x-y=8,3x-9y=-48$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 3x-y=8에서 3x-9y=-48을(를) 뺍니다.

$$3x-3x-y+9y=8+48$$

3x을(를) -3x에 추가합니다. 3x 및 -3x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-y+9y=8+48$$

-y을(를) 9y에 추가합니다.

$$8y=8+48$$

8을(를) 48에 추가합니다.

$$8y=56$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$y=7$$

x-3y=-16에서 y을(를) 7(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x-3\times 7=-16$$

-3에 7을(를) 곱합니다.

$$x-21=-16$$

수식의 양쪽에 21을(를) 더합니다.

$$x=5$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=5,y=7$$