다음을 풀어보세요: {l}{text{(4)}(acosalpha,2acosalpha)}{text{f}y+b=m_{1}(x+a)text{and}y+b=m_{2}(x+a)text{are}}{text{wotangentstotheparabola}y^2=4ax,text{then}}{{llll}{text{(1)}m_{1}+m_{2}=0}&{text{(2)}m_{1}m_{2}=1}}

$$\left. \begin{array} { l } { \text { (4) } ( a \cos \alpha , 2 a \cos \alpha ) } \\ { \text { f } y + b = m _ { 1 } ( x + a ) \text { and } y + b = m _ { 2 } ( x + a ) \text { are } } \\ { \text { wo tangents to the parabola } y ^ { 2 } = 4 a x , \text { then } } \\ { \left. \begin{array} { l l l l } { \text { (1) } m _ { 1 } + m _ { 2 } = 0 } & { \text { (2) } m _ { 1 } m _ { 2 } = 1 } \end{array} \right. } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해 (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=-a\text{, }y=-b\text{, }&\text{unconditionally}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=-b\text{, }&m_{2}=0\text{ and }m_{1}=0\\x=\frac{y-am_{2}+b}{m_{2}}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m_{2}\neq 0\text{ and }m_{1}=m_{2}\end{matrix}\right.$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 m_{1}에 x+a(을)를 곱합니다.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

양쪽 모두에서 m_{1}x을(를) 뺍니다.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

양쪽 모두에서 b을(를) 뺍니다.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 m_{2}에 x+a(을)를 곱합니다.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

양쪽 모두에서 m_{2}x을(를) 뺍니다.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

양쪽 모두에서 b을(를) 뺍니다.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대한 해를 찾습니다.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b$$

수식의 양쪽에 m_{1}x을(를) 더합니다.

$$y=m_{1}x+am_{1}-b$$

다른 수식 y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b에서 m_{1}x+am_{1}-b을(를) y(으)로 치환합니다.

$$m_{1}x+am_{1}-b+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

m_{1}x을(를) -m_{2}x에 추가합니다.

$$\left(m_{1}-m_{2}\right)x+am_{1}-b=am_{2}-b$$

수식의 양쪽에서 am_{1}-b을(를) 뺍니다.

$$\left(m_{1}-m_{2}\right)x=a\left(m_{2}-m_{1}\right)$$

양쪽을 m_{1}-m_{2}(으)로 나눕니다.

$$x=-a$$

y=m_{1}x+am_{1}-b에서 x을(를) -a(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y=m_{1}\left(-a\right)+am_{1}-b$$

m_{1}에 -a을(를) 곱합니다.

$$y=-am_{1}+am_{1}-b$$

am_{1}-b을(를) -m_{1}a에 추가합니다.

$$y=-b$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=-b,x=-a$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 m_{1}에 x+a(을)를 곱합니다.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

양쪽 모두에서 m_{1}x을(를) 뺍니다.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

양쪽 모두에서 b을(를) 뺍니다.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 m_{2}에 x+a(을)를 곱합니다.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

양쪽 모두에서 m_{2}x을(를) 뺍니다.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

양쪽 모두에서 b을(를) 뺍니다.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m_{2}}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}&-\frac{-m_{1}}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}\\-\frac{1}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}&\frac{1}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m_{2}}{m_{1}-m_{2}}&\frac{m_{1}}{m_{1}-m_{2}}\\-\frac{1}{m_{1}-m_{2}}&\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{m_{2}}{m_{1}-m_{2}}\right)\left(am_{1}-b\right)+\frac{m_{1}}{m_{1}-m_{2}}\left(am_{2}-b\right)\\\left(-\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\right)\left(am_{1}-b\right)+\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\left(am_{2}-b\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-b\\-a\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 y 및 x을(를) 추출합니다.

$$y=-b,x=-a$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 m_{1}에 x+a(을)를 곱합니다.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

양쪽 모두에서 m_{1}x을(를) 뺍니다.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

양쪽 모두에서 b을(를) 뺍니다.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 m_{2}에 x+a(을)를 곱합니다.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

양쪽 모두에서 m_{2}x을(를) 뺍니다.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

양쪽 모두에서 b을(를) 뺍니다.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b에서 y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b을(를) 뺍니다.

$$y-y+\left(-m_{1}\right)x+m_{2}x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

y을(를) -y에 추가합니다. y 및 -y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$\left(-m_{1}\right)x+m_{2}x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

-m_{1}x을(를) m_{2}x에 추가합니다.

$$\left(m_{2}-m_{1}\right)x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

am_{1}-b을(를) -m_{2}a+b에 추가합니다.

$$\left(m_{2}-m_{1}\right)x=a\left(m_{1}-m_{2}\right)$$

양쪽을 -m_{1}+m_{2}(으)로 나눕니다.

$$x=-a$$

y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b에서 x을(를) -a(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y+\left(-m_{2}\right)\left(-a\right)=am_{2}-b$$

-m_{2}에 -a을(를) 곱합니다.

$$y+am_{2}=am_{2}-b$$

수식의 양쪽에서 m_{2}a을(를) 뺍니다.

$$y=-b$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=-b,x=-a$$

x, y에 대한 해

$$\left\{\begin{matrix}\\x=-a\text{, }y=-b\text{, }&\text{unconditionally}\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=-b\text{, }&m_{2}=0\text{ and }m_{1}=0\\x=\frac{y-am_{2}+b}{m_{2}}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m_{2}\neq 0\text{ and }m_{1}=m_{2}\end{matrix}\right.$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 m_{1}에 x+a(을)를 곱합니다.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

양쪽 모두에서 m_{1}x을(를) 뺍니다.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

양쪽 모두에서 b을(를) 뺍니다.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 m_{2}에 x+a(을)를 곱합니다.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

양쪽 모두에서 m_{2}x을(를) 뺍니다.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

양쪽 모두에서 b을(를) 뺍니다.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대한 해를 찾습니다.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b$$

수식의 양쪽에 m_{1}x을(를) 더합니다.

$$y=m_{1}x+am_{1}-b$$

다른 수식 y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b에서 m_{1}x+am_{1}-b을(를) y(으)로 치환합니다.

$$m_{1}x+am_{1}-b+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

m_{1}x을(를) -m_{2}x에 추가합니다.

$$\left(m_{1}-m_{2}\right)x+am_{1}-b=am_{2}-b$$

수식의 양쪽에서 am_{1}-b을(를) 뺍니다.

$$\left(m_{1}-m_{2}\right)x=a\left(m_{2}-m_{1}\right)$$

양쪽을 m_{1}-m_{2}(으)로 나눕니다.

$$x=-a$$

y=m_{1}x+am_{1}-b에서 x을(를) -a(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y=m_{1}\left(-a\right)+am_{1}-b$$

m_{1}에 -a을(를) 곱합니다.

$$y=-am_{1}+am_{1}-b$$

am_{1}-b을(를) -m_{1}a에 추가합니다.

$$y=-b$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=-b,x=-a$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 m_{1}에 x+a(을)를 곱합니다.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

양쪽 모두에서 m_{1}x을(를) 뺍니다.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

양쪽 모두에서 b을(를) 뺍니다.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 m_{2}에 x+a(을)를 곱합니다.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

양쪽 모두에서 m_{2}x을(를) 뺍니다.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

양쪽 모두에서 b을(를) 뺍니다.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m_{2}}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}&-\frac{-m_{1}}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}\\-\frac{1}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}&\frac{1}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m_{2}}{m_{1}-m_{2}}&\frac{m_{1}}{m_{1}-m_{2}}\\-\frac{1}{m_{1}-m_{2}}&\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{m_{2}}{m_{1}-m_{2}}\right)\left(am_{1}-b\right)+\frac{m_{1}}{m_{1}-m_{2}}\left(am_{2}-b\right)\\\left(-\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\right)\left(am_{1}-b\right)+\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\left(am_{2}-b\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-b\\-a\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 y 및 x을(를) 추출합니다.

$$y=-b,x=-a$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 m_{1}에 x+a(을)를 곱합니다.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

양쪽 모두에서 m_{1}x을(를) 뺍니다.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

양쪽 모두에서 b을(를) 뺍니다.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 m_{2}에 x+a(을)를 곱합니다.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

양쪽 모두에서 m_{2}x을(를) 뺍니다.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

양쪽 모두에서 b을(를) 뺍니다.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b에서 y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b을(를) 뺍니다.

$$y-y+\left(-m_{1}\right)x+m_{2}x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

y을(를) -y에 추가합니다. y 및 -y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$\left(-m_{1}\right)x+m_{2}x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

-m_{1}x을(를) m_{2}x에 추가합니다.

$$\left(m_{2}-m_{1}\right)x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

am_{1}-b을(를) -m_{2}a+b에 추가합니다.

$$\left(m_{2}-m_{1}\right)x=a\left(m_{1}-m_{2}\right)$$

양쪽을 -m_{1}+m_{2}(으)로 나눕니다.

$$x=-a$$

y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b에서 x을(를) -a(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y+\left(-m_{2}\right)\left(-a\right)=am_{2}-b$$

-m_{2}에 -a을(를) 곱합니다.

$$y+am_{2}=am_{2}-b$$

수식의 양쪽에서 m_{2}a을(를) 뺍니다.

$$y=-b$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=-b,x=-a$$