다음을 풀어보세요: {l}{x/8-y=-5/2}{3x+y/3=13}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 8 } - y = - \frac { 5 } { 2 } } \\ { 3 x + \frac { y } { 3 } = 13 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=4$$

$$y=3$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$\frac{1}{8}x-y=-\frac{5}{2},3x+\frac{1}{3}y=13$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$\frac{1}{8}x-y=-\frac{5}{2}$$

수식의 양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$\frac{1}{8}x=y-\frac{5}{2}$$

양쪽에 8을(를) 곱합니다.

$$x=8\left(y-\frac{5}{2}\right)$$

8에 y-\frac{5}{2}을(를) 곱합니다.

$$x=8y-20$$

다른 수식 3x+\frac{1}{3}y=13에서 8y-20을(를) x(으)로 치환합니다.

$$3\left(8y-20\right)+\frac{1}{3}y=13$$

3에 8y-20을(를) 곱합니다.

$$24y-60+\frac{1}{3}y=13$$

24y을(를) \frac{y}{3}에 추가합니다.

$$\frac{73}{3}y-60=13$$

수식의 양쪽에 60을(를) 더합니다.

$$\frac{73}{3}y=73$$

수식의 양쪽을 \frac{73}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=3$$

x=8y-20에서 y을(를) 3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=8\times 3-20$$

8에 3을(를) 곱합니다.

$$x=24-20$$

-20을(를) 24에 추가합니다.

$$x=4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=4,y=3$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$\frac{1}{8}x-y=-\frac{5}{2},3x+\frac{1}{3}y=13$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\13\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\13\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{8}\times \frac{1}{3}-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{\frac{1}{8}\times \frac{1}{3}-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{\frac{1}{8}\times \frac{1}{3}-\left(-3\right)}&\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{8}\times \frac{1}{3}-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\13\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{73}&\frac{24}{73}\\-\frac{72}{73}&\frac{3}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\13\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{73}\left(-\frac{5}{2}\right)+\frac{24}{73}\times 13\\-\frac{72}{73}\left(-\frac{5}{2}\right)+\frac{3}{73}\times 13\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=4,y=3$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$\frac{1}{8}x-y=-\frac{5}{2},3x+\frac{1}{3}y=13$$

\frac{x}{8} 및 3x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 \frac{1}{8}을(를) 곱합니다.

$$3\times \frac{1}{8}x+3\left(-1\right)y=3\left(-\frac{5}{2}\right),\frac{1}{8}\times 3x+\frac{1}{8}\times \frac{1}{3}y=\frac{1}{8}\times 13$$

단순화합니다.

$$\frac{3}{8}x-3y=-\frac{15}{2},\frac{3}{8}x+\frac{1}{24}y=\frac{13}{8}$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 \frac{3}{8}x-3y=-\frac{15}{2}에서 \frac{3}{8}x+\frac{1}{24}y=\frac{13}{8}을(를) 뺍니다.

$$\frac{3}{8}x-\frac{3}{8}x-3y-\frac{1}{24}y=-\frac{15}{2}-\frac{13}{8}$$

\frac{3x}{8}을(를) -\frac{3x}{8}에 추가합니다. \frac{3x}{8} 및 -\frac{3x}{8}이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-3y-\frac{1}{24}y=-\frac{15}{2}-\frac{13}{8}$$

-3y을(를) -\frac{y}{24}에 추가합니다.

$$-\frac{73}{24}y=-\frac{15}{2}-\frac{13}{8}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{15}{2}을(를) -\frac{13}{8}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$-\frac{73}{24}y=-\frac{73}{8}$$

수식의 양쪽을 -\frac{73}{24}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=3$$

3x+\frac{1}{3}y=13에서 y을(를) 3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3x+\frac{1}{3}\times 3=13$$

\frac{1}{3}에 3을(를) 곱합니다.

$$3x+1=13$$

수식의 양쪽에서 1을(를) 뺍니다.

$$3x=12$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=4,y=3$$