다음을 풀어보세요: {l}{x/4-3/8y=3}{5/3x-y/2=12}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 4 } - \frac { 3 } { 8 } y = 3 } \\ { \frac { 5 } { 3 } x - \frac { y } { 2 } = 12 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=6$$

$$y=-4$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 4,8의 최소 공통 배수인 8(으)로 곱합니다.

$$2x-3y=24$$

두 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 3,2의 최소 공통 배수인 6(으)로 곱합니다.

$$10x-3y=72$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2x-3y=24,10x-3y=72$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2x-3y=24$$

수식의 양쪽에 3y을(를) 더합니다.

$$2x=3y+24$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+24\right)$$

\frac{1}{2}에 24+3y을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{3}{2}y+12$$

다른 수식 10x-3y=72에서 \frac{3y}{2}+12을(를) x(으)로 치환합니다.

$$10\left(\frac{3}{2}y+12\right)-3y=72$$

10에 \frac{3y}{2}+12을(를) 곱합니다.

$$15y+120-3y=72$$

15y을(를) -3y에 추가합니다.

$$12y+120=72$$

수식의 양쪽에서 120을(를) 뺍니다.

$$12y=-48$$

양쪽을 12(으)로 나눕니다.

$$y=-4$$

x=\frac{3}{2}y+12에서 y을(를) -4(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{3}{2}\left(-4\right)+12$$

\frac{3}{2}에 -4을(를) 곱합니다.

$$x=-6+12$$

12을(를) -6에 추가합니다.

$$x=6$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=6,y=-4$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 4,8의 최소 공통 배수인 8(으)로 곱합니다.

$$2x-3y=24$$

두 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 3,2의 최소 공통 배수인 6(으)로 곱합니다.

$$10x-3y=72$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2x-3y=24,10x-3y=72$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 10\right)}&-\frac{-3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 10\right)}\\-\frac{10}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 10\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\-\frac{5}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}\times 24+\frac{1}{8}\times 72\\-\frac{5}{12}\times 24+\frac{1}{12}\times 72\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-4\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=6,y=-4$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 4,8의 최소 공통 배수인 8(으)로 곱합니다.

$$2x-3y=24$$

두 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 3,2의 최소 공통 배수인 6(으)로 곱합니다.

$$10x-3y=72$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2x-3y=24,10x-3y=72$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 2x-3y=24에서 10x-3y=72을(를) 뺍니다.

$$2x-10x-3y+3y=24-72$$

-3y을(를) 3y에 추가합니다. -3y 및 3y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$2x-10x=24-72$$

2x을(를) -10x에 추가합니다.

$$-8x=24-72$$

24을(를) -72에 추가합니다.

$$-8x=-48$$

양쪽을 -8(으)로 나눕니다.

$$x=6$$

10x-3y=72에서 x을(를) 6(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$10\times 6-3y=72$$

10에 6을(를) 곱합니다.

$$60-3y=72$$

수식의 양쪽에서 60을(를) 뺍니다.

$$-3y=12$$

양쪽을 -3(으)로 나눕니다.

$$y=-4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=6,y=-4$$