다음을 풀어보세요: {l}{27x/25+9/10y=1008}{11/10x+43/5y=1028}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 27 x } { 25 } + \frac { 9 } { 10 } y = 1008 } \\ { \frac { 11 } { 10 } x + \frac { 43 } { 5 } y = 1028 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{430200}{461} = 933\frac{87}{461} \approx 933.188720174$$

$$y=\frac{80}{461}\approx 0.173535792$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 25,10의 최소 공통 배수인 50(으)로 곱합니다.

$$2\times 27x+45y=50400$$

2과(와) 27을(를) 곱하여 54(을)를 구합니다.

$$54x+45y=50400$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$54x+45y=50400$$

수식의 양쪽에서 45y을(를) 뺍니다.

$$54x=-45y+50400$$

양쪽을 54(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{54}\left(-45y+50400\right)$$

\frac{1}{54}에 -45y+50400을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}$$

다른 수식 \frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028에서 -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$\frac{11}{10}\left(-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}\right)+\frac{43}{5}y=1028$$

\frac{11}{10}에 -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{11}{12}y+\frac{3080}{3}+\frac{43}{5}y=1028$$

-\frac{11y}{12}을(를) \frac{43y}{5}에 추가합니다.

$$\frac{461}{60}y+\frac{3080}{3}=1028$$

수식의 양쪽에서 \frac{3080}{3}을(를) 뺍니다.

$$\frac{461}{60}y=\frac{4}{3}$$

수식의 양쪽을 \frac{461}{60}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{80}{461}$$

x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}에서 y을(를) \frac{80}{461}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{5}{6}\times \frac{80}{461}+\frac{2800}{3}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{5}{6}에 \frac{80}{461}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{200}{1383}+\frac{2800}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{2800}{3}을(를) -\frac{200}{1383}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{430200}{461}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 25,10의 최소 공통 배수인 50(으)로 곱합니다.

$$2\times 27x+45y=50400$$

2과(와) 27을(를) 곱하여 54(을)를 구합니다.

$$54x+45y=50400$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{43}{5}}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}&-\frac{45}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}\\-\frac{\frac{11}{10}}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}&\frac{54}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{86}{4149}&-\frac{50}{461}\\-\frac{11}{4149}&\frac{60}{461}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{86}{4149}\times 50400-\frac{50}{461}\times 1028\\-\frac{11}{4149}\times 50400+\frac{60}{461}\times 1028\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{430200}{461}\\\frac{80}{461}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 25,10의 최소 공통 배수인 50(으)로 곱합니다.

$$2\times 27x+45y=50400$$

2과(와) 27을(를) 곱하여 54(을)를 구합니다.

$$54x+45y=50400$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

54x 및 \frac{11x}{10}을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 \frac{11}{10}을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 54을(를) 곱합니다.

$$\frac{11}{10}\times 54x+\frac{11}{10}\times 45y=\frac{11}{10}\times 50400,54\times \frac{11}{10}x+54\times \frac{43}{5}y=54\times 1028$$

단순화합니다.

$$\frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y=55440,\frac{297}{5}x+\frac{2322}{5}y=55512$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 \frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y=55440에서 \frac{297}{5}x+\frac{2322}{5}y=55512을(를) 뺍니다.

$$\frac{297}{5}x-\frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y-\frac{2322}{5}y=55440-55512$$

\frac{297x}{5}을(를) -\frac{297x}{5}에 추가합니다. \frac{297x}{5} 및 -\frac{297x}{5}이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$\frac{99}{2}y-\frac{2322}{5}y=55440-55512$$

\frac{99y}{2}을(를) -\frac{2322y}{5}에 추가합니다.

$$-\frac{4149}{10}y=55440-55512$$

55440을(를) -55512에 추가합니다.

$$-\frac{4149}{10}y=-72$$

수식의 양쪽을 -\frac{4149}{10}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{80}{461}$$

\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028에서 y을(를) \frac{80}{461}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}\times \frac{80}{461}=1028$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{43}{5}에 \frac{80}{461}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$\frac{11}{10}x+\frac{688}{461}=1028$$

수식의 양쪽에서 \frac{688}{461}을(를) 뺍니다.

$$\frac{11}{10}x=\frac{473220}{461}$$

수식의 양쪽을 \frac{11}{10}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$x=\frac{430200}{461}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$