다음을 풀어보세요: {l}{2x-y+3/3-x-2y+3/4=4}{3x-4y+3/4+4x-2y-9/3=4}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 x - y + 3 } { 3 } - \frac { x - 2 y + 3 } { 4 } = 4 } \\ { \frac { 3 x - 4 y + 3 } { 4 } + \frac { 4 x - 2 y - 9 } { 3 } = 4 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=7$$

$$y=5$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 3,4의 최소 공통 배수인 12(으)로 곱합니다.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

분배 법칙을 사용하여 4에 2x-y+3(을)를 곱합니다.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

분배 법칙을 사용하여 -3에 x-2y+3(을)를 곱합니다.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

8x과(와) -3x을(를) 결합하여 5x(을)를 구합니다.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

-4y과(와) 6y을(를) 결합하여 2y(을)를 구합니다.

$$5x+2y+12-9=48$$

12에서 9을(를) 빼고 3을(를) 구합니다.

$$5x+2y+3=48$$

양쪽 모두에서 3을(를) 뺍니다.

$$5x+2y=48-3$$

48에서 3을(를) 빼고 45을(를) 구합니다.

$$5x+2y=45$$

두 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 4,3의 최소 공통 배수인 12(으)로 곱합니다.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

분배 법칙을 사용하여 3에 3x-4y+3(을)를 곱합니다.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

분배 법칙을 사용하여 4에 4x-2y-9(을)를 곱합니다.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

9x과(와) 16x을(를) 결합하여 25x(을)를 구합니다.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

-12y과(와) -8y을(를) 결합하여 -20y(을)를 구합니다.

$$25x-20y+9-36=48$$

9에서 36을(를) 빼고 -27을(를) 구합니다.

$$25x-20y-27=48$$

양쪽에 27을(를) 더합니다.

$$25x-20y=48+27$$

48과(와) 27을(를) 더하여 75을(를) 구합니다.

$$25x-20y=75$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$5x+2y=45$$

수식의 양쪽에서 2y을(를) 뺍니다.

$$5x=-2y+45$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+45\right)$$

\frac{1}{5}에 -2y+45을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{2}{5}y+9$$

다른 수식 25x-20y=75에서 -\frac{2y}{5}+9을(를) x(으)로 치환합니다.

$$25\left(-\frac{2}{5}y+9\right)-20y=75$$

25에 -\frac{2y}{5}+9을(를) 곱합니다.

$$-10y+225-20y=75$$

-10y을(를) -20y에 추가합니다.

$$-30y+225=75$$

수식의 양쪽에서 225을(를) 뺍니다.

$$-30y=-150$$

양쪽을 -30(으)로 나눕니다.

$$y=5$$

x=-\frac{2}{5}y+9에서 y을(를) 5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{2}{5}\times 5+9$$

-\frac{2}{5}에 5을(를) 곱합니다.

$$x=-2+9$$

9을(를) -2에 추가합니다.

$$x=7$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=7,y=5$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 3,4의 최소 공통 배수인 12(으)로 곱합니다.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

분배 법칙을 사용하여 4에 2x-y+3(을)를 곱합니다.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

분배 법칙을 사용하여 -3에 x-2y+3(을)를 곱합니다.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

8x과(와) -3x을(를) 결합하여 5x(을)를 구합니다.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

-4y과(와) 6y을(를) 결합하여 2y(을)를 구합니다.

$$5x+2y+12-9=48$$

12에서 9을(를) 빼고 3을(를) 구합니다.

$$5x+2y+3=48$$

양쪽 모두에서 3을(를) 뺍니다.

$$5x+2y=48-3$$

48에서 3을(를) 빼고 45을(를) 구합니다.

$$5x+2y=45$$

두 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 4,3의 최소 공통 배수인 12(으)로 곱합니다.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

분배 법칙을 사용하여 3에 3x-4y+3(을)를 곱합니다.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

분배 법칙을 사용하여 4에 4x-2y-9(을)를 곱합니다.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

9x과(와) 16x을(를) 결합하여 25x(을)를 구합니다.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

-12y과(와) -8y을(를) 결합하여 -20y(을)를 구합니다.

$$25x-20y+9-36=48$$

9에서 36을(를) 빼고 -27을(를) 구합니다.

$$25x-20y-27=48$$

양쪽에 27을(를) 더합니다.

$$25x-20y=48+27$$

48과(와) 27을(를) 더하여 75을(를) 구합니다.

$$25x-20y=75$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{5\left(-20\right)-2\times 25}&-\frac{2}{5\left(-20\right)-2\times 25}\\-\frac{25}{5\left(-20\right)-2\times 25}&\frac{5}{5\left(-20\right)-2\times 25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}&\frac{1}{75}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}\times 45+\frac{1}{75}\times 75\\\frac{1}{6}\times 45-\frac{1}{30}\times 75\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=7,y=5$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 3,4의 최소 공통 배수인 12(으)로 곱합니다.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

분배 법칙을 사용하여 4에 2x-y+3(을)를 곱합니다.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

분배 법칙을 사용하여 -3에 x-2y+3(을)를 곱합니다.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

8x과(와) -3x을(를) 결합하여 5x(을)를 구합니다.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

-4y과(와) 6y을(를) 결합하여 2y(을)를 구합니다.

$$5x+2y+12-9=48$$

12에서 9을(를) 빼고 3을(를) 구합니다.

$$5x+2y+3=48$$

양쪽 모두에서 3을(를) 뺍니다.

$$5x+2y=48-3$$

48에서 3을(를) 빼고 45을(를) 구합니다.

$$5x+2y=45$$

두 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 4,3의 최소 공통 배수인 12(으)로 곱합니다.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

분배 법칙을 사용하여 3에 3x-4y+3(을)를 곱합니다.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

분배 법칙을 사용하여 4에 4x-2y-9(을)를 곱합니다.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

9x과(와) 16x을(를) 결합하여 25x(을)를 구합니다.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

-12y과(와) -8y을(를) 결합하여 -20y(을)를 구합니다.

$$25x-20y+9-36=48$$

9에서 36을(를) 빼고 -27을(를) 구합니다.

$$25x-20y-27=48$$

양쪽에 27을(를) 더합니다.

$$25x-20y=48+27$$

48과(와) 27을(를) 더하여 75을(를) 구합니다.

$$25x-20y=75$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

5x 및 25x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 25을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱합니다.

$$25\times 5x+25\times 2y=25\times 45,5\times 25x+5\left(-20\right)y=5\times 75$$

단순화합니다.

$$125x+50y=1125,125x-100y=375$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 125x+50y=1125에서 125x-100y=375을(를) 뺍니다.

$$125x-125x+50y+100y=1125-375$$

125x을(를) -125x에 추가합니다. 125x 및 -125x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$50y+100y=1125-375$$

50y을(를) 100y에 추가합니다.

$$150y=1125-375$$

1125을(를) -375에 추가합니다.

$$150y=750$$

양쪽을 150(으)로 나눕니다.

$$y=5$$

25x-20y=75에서 y을(를) 5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$25x-20\times 5=75$$

-20에 5을(를) 곱합니다.

$$25x-100=75$$

수식의 양쪽에 100을(를) 더합니다.

$$25x=175$$

양쪽을 25(으)로 나눕니다.

$$x=7$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=7,y=5$$