다음을 풀어보세요: {l}{1/2x-2/3y-5=0}{3y+x=6}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 2 } { 3 } y - 5 = 0 } \\ { 3 y + x = 6 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{114}{13} = 8\frac{10}{13} \approx 8.769230769$$

$$y=-\frac{12}{13}\approx -0.923076923$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,x+3y=6$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0$$

수식의 양쪽에 5을(를) 더합니다.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y=5$$

수식의 양쪽에 \frac{2y}{3}을(를) 더합니다.

$$\frac{1}{2}x=\frac{2}{3}y+5$$

양쪽에 2을(를) 곱합니다.

$$x=2\left(\frac{2}{3}y+5\right)$$

2에 \frac{2y}{3}+5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{4}{3}y+10$$

다른 수식 x+3y=6에서 \frac{4y}{3}+10을(를) x(으)로 치환합니다.

$$\frac{4}{3}y+10+3y=6$$

\frac{4y}{3}을(를) 3y에 추가합니다.

$$\frac{13}{3}y+10=6$$

수식의 양쪽에서 10을(를) 뺍니다.

$$\frac{13}{3}y=-4$$

수식의 양쪽을 \frac{13}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-\frac{12}{13}$$

x=\frac{4}{3}y+10에서 y을(를) -\frac{12}{13}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{4}{3}\left(-\frac{12}{13}\right)+10$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{4}{3}에 -\frac{12}{13}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{16}{13}+10$$

10을(를) -\frac{16}{13}에 추가합니다.

$$x=\frac{114}{13}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{114}{13},y=-\frac{12}{13}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,x+3y=6$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{\frac{1}{2}\times 3-\left(-\frac{2}{3}\right)}&-\frac{-\frac{2}{3}}{\frac{1}{2}\times 3-\left(-\frac{2}{3}\right)}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}\times 3-\left(-\frac{2}{3}\right)}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\times 3-\left(-\frac{2}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{13}&\frac{4}{13}\\-\frac{6}{13}&\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{13}\times 5+\frac{4}{13}\times 6\\-\frac{6}{13}\times 5+\frac{3}{13}\times 6\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{114}{13}\\-\frac{12}{13}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{114}{13},y=-\frac{12}{13}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,x+3y=6$$

\frac{x}{2} 및 x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 \frac{1}{2}을(를) 곱합니다.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\times 3y=\frac{1}{2}\times 6$$

단순화합니다.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=3$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 \frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0에서 \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=3을(를) 뺍니다.

$$\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-\frac{3}{2}y-5=-3$$

\frac{x}{2}을(를) -\frac{x}{2}에 추가합니다. \frac{x}{2} 및 -\frac{x}{2}이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-\frac{2}{3}y-\frac{3}{2}y-5=-3$$

-\frac{2y}{3}을(를) -\frac{3y}{2}에 추가합니다.

$$-\frac{13}{6}y-5=-3$$

수식의 양쪽에 5을(를) 더합니다.

$$-\frac{13}{6}y=2$$

수식의 양쪽을 -\frac{13}{6}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-\frac{12}{13}$$

x+3y=6에서 y을(를) -\frac{12}{13}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x+3\left(-\frac{12}{13}\right)=6$$

3에 -\frac{12}{13}을(를) 곱합니다.

$$x-\frac{36}{13}=6$$

수식의 양쪽에 \frac{36}{13}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{114}{13}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{114}{13},y=-\frac{12}{13}$$