다음을 풀어보세요: {c}{x+2y+2=0}{7x-4y=-4}

$$\left. \begin{array} { c } { x + 2 y + 2 = 0 } \\ { 7 x - 4 y = - 4 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-\frac{8}{9}\approx -0.888888889$$

$$y=-\frac{5}{9}\approx -0.555555556$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x+2y+2=0,7x-4y=-4$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x+2y+2=0$$

수식의 양쪽에서 2을(를) 뺍니다.

$$x+2y=-2$$

수식의 양쪽에서 2y을(를) 뺍니다.

$$x=-2y-2$$

다른 수식 7x-4y=-4에서 -2y-2을(를) x(으)로 치환합니다.

$$7\left(-2y-2\right)-4y=-4$$

7에 -2y-2을(를) 곱합니다.

$$-14y-14-4y=-4$$

-14y을(를) -4y에 추가합니다.

$$-18y-14=-4$$

수식의 양쪽에 14을(를) 더합니다.

$$-18y=10$$

양쪽을 -18(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{5}{9}$$

x=-2y-2에서 y을(를) -\frac{5}{9}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-2\left(-\frac{5}{9}\right)-2$$

-2에 -\frac{5}{9}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{10}{9}-2$$

-2을(를) \frac{10}{9}에 추가합니다.

$$x=-\frac{8}{9}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{8}{9},y=-\frac{5}{9}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x+2y+2=0,7x-4y=-4$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&2\\7&-4\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-2\times 7}&-\frac{2}{-4-2\times 7}\\-\frac{7}{-4-2\times 7}&\frac{1}{-4-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{7}{18}&-\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\left(-2\right)+\frac{1}{9}\left(-4\right)\\\frac{7}{18}\left(-2\right)-\frac{1}{18}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{9}\\-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-\frac{8}{9},y=-\frac{5}{9}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x+2y+2=0,7x-4y=-4$$

x 및 7x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 7을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$7x+7\times 2y+7\times 2=0,7x-4y=-4$$

단순화합니다.

$$7x+14y+14=0,7x-4y=-4$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 7x+14y+14=0에서 7x-4y=-4을(를) 뺍니다.

$$7x-7x+14y+4y+14=4$$

7x을(를) -7x에 추가합니다. 7x 및 -7x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$14y+4y+14=4$$

14y을(를) 4y에 추가합니다.

$$18y+14=4$$

수식의 양쪽에서 14을(를) 뺍니다.

$$18y=-10$$

양쪽을 18(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{5}{9}$$

7x-4y=-4에서 y을(를) -\frac{5}{9}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$7x-4\left(-\frac{5}{9}\right)=-4$$

-4에 -\frac{5}{9}을(를) 곱합니다.

$$7x+\frac{20}{9}=-4$$

수식의 양쪽에서 \frac{20}{9}을(를) 뺍니다.

$$7x=-\frac{56}{9}$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{8}{9}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{8}{9},y=-\frac{5}{9}$$