다음을 풀어보세요: {c}{4x+2y=8}{16x-y=14}

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x + 2 y = 8 } \\ { 16 x - y = 14 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=1$$

$$y=2$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$4x+2y=8,16x-y=14$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$4x+2y=8$$

수식의 양쪽에서 2y을(를) 뺍니다.

$$4x=-2y+8$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+8\right)$$

\frac{1}{4}에 -2y+8을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{2}y+2$$

다른 수식 16x-y=14에서 -\frac{y}{2}+2을(를) x(으)로 치환합니다.

$$16\left(-\frac{1}{2}y+2\right)-y=14$$

16에 -\frac{y}{2}+2을(를) 곱합니다.

$$-8y+32-y=14$$

-8y을(를) -y에 추가합니다.

$$-9y+32=14$$

수식의 양쪽에서 32을(를) 뺍니다.

$$-9y=-18$$

양쪽을 -9(으)로 나눕니다.

$$y=2$$

x=-\frac{1}{2}y+2에서 y을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2+2$$

-\frac{1}{2}에 2을(를) 곱합니다.

$$x=-1+2$$

2을(를) -1에 추가합니다.

$$x=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1,y=2$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$4x+2y=8,16x-y=14$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-2\times 16}&-\frac{2}{4\left(-1\right)-2\times 16}\\-\frac{16}{4\left(-1\right)-2\times 16}&\frac{4}{4\left(-1\right)-2\times 16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{36}&\frac{1}{18}\\\frac{4}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{36}\times 8+\frac{1}{18}\times 14\\\frac{4}{9}\times 8-\frac{1}{9}\times 14\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=1,y=2$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$4x+2y=8,16x-y=14$$

4x 및 16x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 16을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱합니다.

$$16\times 4x+16\times 2y=16\times 8,4\times 16x+4\left(-1\right)y=4\times 14$$

단순화합니다.

$$64x+32y=128,64x-4y=56$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 64x+32y=128에서 64x-4y=56을(를) 뺍니다.

$$64x-64x+32y+4y=128-56$$

64x을(를) -64x에 추가합니다. 64x 및 -64x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$32y+4y=128-56$$

32y을(를) 4y에 추가합니다.

$$36y=128-56$$

128을(를) -56에 추가합니다.

$$36y=72$$

양쪽을 36(으)로 나눕니다.

$$y=2$$

16x-y=14에서 y을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$16x-2=14$$

수식의 양쪽에 2을(를) 더합니다.

$$16x=16$$

양쪽을 16(으)로 나눕니다.

$$x=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1,y=2$$