다음을 풀어보세요: {c}{-x+3y=6}{-2x+5y=11}

$$\left. \begin{array} { c } { - x + 3 y = 6 } \\ { - 2 x + 5 y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-3$$

$$y=1$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-x+3y=6,-2x+5y=11$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-x+3y=6$$

수식의 양쪽에서 3y을(를) 뺍니다.

$$-x=-3y+6$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$x=-\left(-3y+6\right)$$

-1에 -3y+6을(를) 곱합니다.

$$x=3y-6$$

다른 수식 -2x+5y=11에서 -6+3y을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-2\left(3y-6\right)+5y=11$$

-2에 -6+3y을(를) 곱합니다.

$$-6y+12+5y=11$$

-6y을(를) 5y에 추가합니다.

$$-y+12=11$$

수식의 양쪽에서 12을(를) 뺍니다.

$$-y=-1$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$y=1$$

x=3y-6에서 y을(를) 1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=3-6$$

-6을(를) 3에 추가합니다.

$$x=-3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-3,y=1$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-x+3y=6,-2x+5y=11$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-1&3\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-1&3\\-2&5\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&3\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-5-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{-5-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-5-3\left(-2\right)}&-\frac{1}{-5-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 6-3\times 11\\2\times 6-11\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-3,y=1$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-x+3y=6,-2x+5y=11$$

-x 및 -2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -1을(를) 곱합니다.

$$-2\left(-1\right)x-2\times 3y=-2\times 6,-\left(-2\right)x-5y=-11$$

단순화합니다.

$$2x-6y=-12,2x-5y=-11$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 2x-6y=-12에서 2x-5y=-11을(를) 뺍니다.

$$2x-2x-6y+5y=-12+11$$

2x을(를) -2x에 추가합니다. 2x 및 -2x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-6y+5y=-12+11$$

-6y을(를) 5y에 추가합니다.

$$-y=-12+11$$

-12을(를) 11에 추가합니다.

$$-y=-1$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$y=1$$

-2x+5y=11에서 y을(를) 1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-2x+5=11$$

수식의 양쪽에서 5을(를) 뺍니다.

$$-2x=6$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$x=-3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-3,y=1$$