다음을 풀어보세요: {c}{-7u-10v=116}{-7u+10v=-4}

$$\left. \begin{array} { c } { - 7 u - 10 v = 116 } \\ { - 7 u + 10 v = - 4 } \end{array} \right.$$

u, v에 대한 해

$$u=-8$$

$$v=-6$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-7u-10v=116,-7u+10v=-4$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 u을(를) 고립시켜 u에 대한 해를 찾습니다.

$$-7u-10v=116$$

수식의 양쪽에 10v을(를) 더합니다.

$$-7u=10v+116$$

양쪽을 -7(으)로 나눕니다.

$$u=-\frac{1}{7}\left(10v+116\right)$$

-\frac{1}{7}에 10v+116을(를) 곱합니다.

$$u=-\frac{10}{7}v-\frac{116}{7}$$

다른 수식 -7u+10v=-4에서 \frac{-10v-116}{7}을(를) u(으)로 치환합니다.

$$-7\left(-\frac{10}{7}v-\frac{116}{7}\right)+10v=-4$$

-7에 \frac{-10v-116}{7}을(를) 곱합니다.

$$10v+116+10v=-4$$

10v을(를) 10v에 추가합니다.

$$20v+116=-4$$

수식의 양쪽에서 116을(를) 뺍니다.

$$20v=-120$$

양쪽을 20(으)로 나눕니다.

$$v=-6$$

u=-\frac{10}{7}v-\frac{116}{7}에서 v을(를) -6(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 u에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$u=-\frac{10}{7}\left(-6\right)-\frac{116}{7}$$

-\frac{10}{7}에 -6을(를) 곱합니다.

$$u=\frac{60-116}{7}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{116}{7}을(를) \frac{60}{7}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$u=-8$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$u=-8,v=-6$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-7u-10v=116,-7u+10v=-4$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-7&-10\\-7&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}116\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-7&-10\\-7&10\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-10\\-7&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-10\\-7&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-10\\-7&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}116\\-4\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-10\\-7&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}116\\-4\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-10\\-7&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}116\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{-7\times 10-\left(-10\left(-7\right)\right)}&-\frac{-10}{-7\times 10-\left(-10\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{-7\times 10-\left(-10\left(-7\right)\right)}&-\frac{7}{-7\times 10-\left(-10\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}116\\-4\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}&-\frac{1}{14}\\-\frac{1}{20}&\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}116\\-4\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}\times 116-\frac{1}{14}\left(-4\right)\\-\frac{1}{20}\times 116+\frac{1}{20}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-6\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 u 및 v을(를) 추출합니다.

$$u=-8,v=-6$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-7u-10v=116,-7u+10v=-4$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -7u-10v=116에서 -7u+10v=-4을(를) 뺍니다.

$$-7u+7u-10v-10v=116+4$$

-7u을(를) 7u에 추가합니다. -7u 및 7u이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-10v-10v=116+4$$

-10v을(를) -10v에 추가합니다.

$$-20v=116+4$$

116을(를) 4에 추가합니다.

$$-20v=120$$

양쪽을 -20(으)로 나눕니다.

$$v=-6$$

-7u+10v=-4에서 v을(를) -6(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 u에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-7u+10\left(-6\right)=-4$$

10에 -6을(를) 곱합니다.

$$-7u-60=-4$$

수식의 양쪽에 60을(를) 더합니다.

$$-7u=56$$

양쪽을 -7(으)로 나눕니다.

$$u=-8$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$u=-8,v=-6$$