다음을 풀어보세요: {c}{-5x+3y=51}{2x+6y=38}

$$\left. \begin{array} { c } { - 5 x + 3 y = 51 } \\ { 2 x + 6 y = 38 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = -\frac{16}{3} = -5\frac{1}{3} \approx -5.333333333$$

$$y = \frac{73}{9} = 8\frac{1}{9} \approx 8.111111111$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-5x+3y=51,2x+6y=38$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-5x+3y=51$$

수식의 양쪽에서 3y을(를) 뺍니다.

$$-5x=-3y+51$$

양쪽을 -5(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-3y+51\right)$$

-\frac{1}{5}에 -3y+51을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{3}{5}y-\frac{51}{5}$$

다른 수식 2x+6y=38에서 \frac{-51+3y}{5}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$2\left(\frac{3}{5}y-\frac{51}{5}\right)+6y=38$$

2에 \frac{-51+3y}{5}을(를) 곱합니다.

$$\frac{6}{5}y-\frac{102}{5}+6y=38$$

\frac{6y}{5}을(를) 6y에 추가합니다.

$$\frac{36}{5}y-\frac{102}{5}=38$$

수식의 양쪽에 \frac{102}{5}을(를) 더합니다.

$$\frac{36}{5}y=\frac{292}{5}$$

수식의 양쪽을 \frac{36}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{73}{9}$$

x=\frac{3}{5}y-\frac{51}{5}에서 y을(를) \frac{73}{9}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{3}{5}\times \frac{73}{9}-\frac{51}{5}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{3}{5}에 \frac{73}{9}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{73}{15}-\frac{51}{5}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{51}{5}을(를) \frac{73}{15}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{16}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{16}{3},y=\frac{73}{9}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-5x+3y=51,2x+6y=38$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-5&3\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}51\\38\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-5&3\\2&6\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&3\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}51\\38\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}51\\38\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}51\\38\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{-5\times 6-3\times 2}&-\frac{3}{-5\times 6-3\times 2}\\-\frac{2}{-5\times 6-3\times 2}&-\frac{5}{-5\times 6-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}51\\38\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{12}\\\frac{1}{18}&\frac{5}{36}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}51\\38\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 51+\frac{1}{12}\times 38\\\frac{1}{18}\times 51+\frac{5}{36}\times 38\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{3}\\\frac{73}{9}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-\frac{16}{3},y=\frac{73}{9}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-5x+3y=51,2x+6y=38$$

-5x 및 2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -5을(를) 곱합니다.

$$2\left(-5\right)x+2\times 3y=2\times 51,-5\times 2x-5\times 6y=-5\times 38$$

단순화합니다.

$$-10x+6y=102,-10x-30y=-190$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -10x+6y=102에서 -10x-30y=-190을(를) 뺍니다.

$$-10x+10x+6y+30y=102+190$$

-10x을(를) 10x에 추가합니다. -10x 및 10x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$6y+30y=102+190$$

6y을(를) 30y에 추가합니다.

$$36y=102+190$$

102을(를) 190에 추가합니다.

$$36y=292$$

양쪽을 36(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{73}{9}$$

2x+6y=38에서 y을(를) \frac{73}{9}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2x+6\times \frac{73}{9}=38$$

6에 \frac{73}{9}을(를) 곱합니다.

$$2x+\frac{146}{3}=38$$

수식의 양쪽에서 \frac{146}{3}을(를) 뺍니다.

$$2x=-\frac{32}{3}$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{16}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{16}{3},y=\frac{73}{9}$$