다음을 풀어보세요: {r}{6x+y=4}{x-4y=19}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 6 x + y = 4 } \\ { x - 4 y = 19 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1.4$$

$$y = -\frac{22}{5} = -4\frac{2}{5} = -4.4$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$6x+y=4,x-4y=19$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$6x+y=4$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$6x=-y+4$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{6}\left(-y+4\right)$$

\frac{1}{6}에 -y+4을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{6}y+\frac{2}{3}$$

다른 수식 x-4y=19에서 -\frac{y}{6}+\frac{2}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-\frac{1}{6}y+\frac{2}{3}-4y=19$$

-\frac{y}{6}을(를) -4y에 추가합니다.

$$-\frac{25}{6}y+\frac{2}{3}=19$$

수식의 양쪽에서 \frac{2}{3}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{25}{6}y=\frac{55}{3}$$

수식의 양쪽을 -\frac{25}{6}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-\frac{22}{5}$$

x=-\frac{1}{6}y+\frac{2}{3}에서 y을(를) -\frac{22}{5}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-\frac{22}{5}\right)+\frac{2}{3}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{1}{6}에 -\frac{22}{5}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{11}{15}+\frac{2}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{2}{3}을(를) \frac{11}{15}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{7}{5}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{7}{5},y=-\frac{22}{5}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$6x+y=4,x-4y=19$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{6\left(-4\right)-1}&-\frac{1}{6\left(-4\right)-1}\\-\frac{1}{6\left(-4\right)-1}&\frac{6}{6\left(-4\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{1}{25}\\\frac{1}{25}&-\frac{6}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 4+\frac{1}{25}\times 19\\\frac{1}{25}\times 4-\frac{6}{25}\times 19\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5}\\-\frac{22}{5}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{7}{5},y=-\frac{22}{5}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$6x+y=4,x-4y=19$$

6x 및 x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 6을(를) 곱합니다.

$$6x+y=4,6x+6\left(-4\right)y=6\times 19$$

단순화합니다.

$$6x+y=4,6x-24y=114$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 6x+y=4에서 6x-24y=114을(를) 뺍니다.

$$6x-6x+y+24y=4-114$$

6x을(를) -6x에 추가합니다. 6x 및 -6x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$y+24y=4-114$$

y을(를) 24y에 추가합니다.

$$25y=4-114$$

4을(를) -114에 추가합니다.

$$25y=-110$$

양쪽을 25(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{22}{5}$$

x-4y=19에서 y을(를) -\frac{22}{5}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x-4\left(-\frac{22}{5}\right)=19$$

-4에 -\frac{22}{5}을(를) 곱합니다.

$$x+\frac{88}{5}=19$$

수식의 양쪽에서 \frac{88}{5}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{7}{5}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{7}{5},y=-\frac{22}{5}$$