다음을 풀어보세요: {l}{y=3x-2}{5x+4y=9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 3 x - 2 } \\ { 5 x + 4 y = 9 } \end{array} \right.$$

y, x에 대한 해

$$x=1$$

$$y=1$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 3x을(를) 뺍니다.

$$y-3x=-2$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$y-3x=-2,4y+5x=9$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대한 해를 찾습니다.

$$y-3x=-2$$

수식의 양쪽에 3x을(를) 더합니다.

$$y=3x-2$$

다른 수식 4y+5x=9에서 3x-2을(를) y(으)로 치환합니다.

$$4\left(3x-2\right)+5x=9$$

4에 3x-2을(를) 곱합니다.

$$12x-8+5x=9$$

12x을(를) 5x에 추가합니다.

$$17x-8=9$$

수식의 양쪽에 8을(를) 더합니다.

$$17x=17$$

양쪽을 17(으)로 나눕니다.

$$x=1$$

y=3x-2에서 x을(를) 1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y=3-2$$

-2을(를) 3에 추가합니다.

$$y=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=1,x=1$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 3x을(를) 뺍니다.

$$y-3x=-2$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$y-3x=-2,4y+5x=9$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{5-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{5-\left(-3\times 4\right)}&\frac{1}{5-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}&\frac{3}{17}\\-\frac{4}{17}&\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}\left(-2\right)+\frac{3}{17}\times 9\\-\frac{4}{17}\left(-2\right)+\frac{1}{17}\times 9\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 y 및 x을(를) 추출합니다.

$$y=1,x=1$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 3x을(를) 뺍니다.

$$y-3x=-2$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$y-3x=-2,4y+5x=9$$

y 및 4y을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$4y+4\left(-3\right)x=4\left(-2\right),4y+5x=9$$

단순화합니다.

$$4y-12x=-8,4y+5x=9$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 4y-12x=-8에서 4y+5x=9을(를) 뺍니다.

$$4y-4y-12x-5x=-8-9$$

4y을(를) -4y에 추가합니다. 4y 및 -4y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-12x-5x=-8-9$$

-12x을(를) -5x에 추가합니다.

$$-17x=-8-9$$

-8을(를) -9에 추가합니다.

$$-17x=-17$$

양쪽을 -17(으)로 나눕니다.

$$x=1$$

4y+5x=9에서 x을(를) 1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$4y+5=9$$

수식의 양쪽에서 5을(를) 뺍니다.

$$4y=4$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$y=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=1,x=1$$