다음을 풀어보세요: {l}{xsqrt{2}-ysqrt{5}=2sqrt{10}}{xsqrt{5}+ysqrt{2}=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x \sqrt { 2 } - y \sqrt { 5 } = 2 \sqrt { 10 } } \\ { x \sqrt { 5 } + y \sqrt { 2 } = 3 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=\sqrt{5}\approx 2.236067977$$

$$y=-\sqrt{2}\approx -1.414213562$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 항의 순서를 재정렬합니다.

$$\sqrt{2}x-\sqrt{5}y=2\sqrt{10}$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$\sqrt{2}x+\left(-\sqrt{5}\right)y=2\sqrt{10},\sqrt{5}x+\sqrt{2}y=3$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$\sqrt{2}x+\left(-\sqrt{5}\right)y=2\sqrt{10}$$

수식의 양쪽에 \sqrt{5}y을(를) 더합니다.

$$\sqrt{2}x=\sqrt{5}y+2\sqrt{10}$$

양쪽을 \sqrt{2}(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sqrt{5}y+2\sqrt{10}\right)$$

\frac{\sqrt{2}}{2}에 \sqrt{5}y+2\sqrt{10}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{\sqrt{10}}{2}y+2\sqrt{5}$$

다른 수식 \sqrt{5}x+\sqrt{2}y=3에서 \frac{\sqrt{10}y}{2}+2\sqrt{5}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$\sqrt{5}\left(\frac{\sqrt{10}}{2}y+2\sqrt{5}\right)+\sqrt{2}y=3$$

\sqrt{5}에 \frac{\sqrt{10}y}{2}+2\sqrt{5}을(를) 곱합니다.

$$\frac{5\sqrt{2}}{2}y+10+\sqrt{2}y=3$$

\frac{5\sqrt{2}y}{2}을(를) \sqrt{2}y에 추가합니다.

$$\frac{7\sqrt{2}}{2}y+10=3$$

수식의 양쪽에서 10을(를) 뺍니다.

$$\frac{7\sqrt{2}}{2}y=-7$$

양쪽을 \frac{7\sqrt{2}}{2}(으)로 나눕니다.

$$y=-\sqrt{2}$$

x=\frac{\sqrt{10}}{2}y+2\sqrt{5}에서 y을(를) -\sqrt{2}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{\sqrt{10}}{2}\left(-\sqrt{2}\right)+2\sqrt{5}$$

\frac{\sqrt{10}}{2}에 -\sqrt{2}을(를) 곱합니다.

$$x=-\sqrt{5}+2\sqrt{5}$$

2\sqrt{5}을(를) -\sqrt{5}에 추가합니다.

$$x=\sqrt{5}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\sqrt{5},y=-\sqrt{2}$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 항의 순서를 재정렬합니다.

$$\sqrt{2}x-\sqrt{5}y=2\sqrt{10}$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$\sqrt{2}x+\left(-\sqrt{5}\right)y=2\sqrt{10},\sqrt{5}x+\sqrt{2}y=3$$

\sqrt{2}x 및 \sqrt{5}x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 \sqrt{5}을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 \sqrt{2}을(를) 곱합니다.

$$\sqrt{5}\sqrt{2}x+\sqrt{5}\left(-\sqrt{5}\right)y=\sqrt{5}\times 2\sqrt{10},\sqrt{2}\sqrt{5}x+\sqrt{2}\sqrt{2}y=\sqrt{2}\times 3$$

단순화합니다.

$$\sqrt{10}x-5y=10\sqrt{2},\sqrt{10}x+2y=3\sqrt{2}$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 \sqrt{10}x-5y=10\sqrt{2}에서 \sqrt{10}x+2y=3\sqrt{2}을(를) 뺍니다.

$$\sqrt{10}x+\left(-\sqrt{10}\right)x-5y-2y=10\sqrt{2}-3\sqrt{2}$$

\sqrt{10}x을(를) -\sqrt{10}x에 추가합니다. \sqrt{10}x 및 -\sqrt{10}x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-5y-2y=10\sqrt{2}-3\sqrt{2}$$

-5y을(를) -2y에 추가합니다.

$$-7y=10\sqrt{2}-3\sqrt{2}$$

10\sqrt{2}을(를) -3\sqrt{2}에 추가합니다.

$$-7y=7\sqrt{2}$$

양쪽을 -7(으)로 나눕니다.

$$y=-\sqrt{2}$$

\sqrt{5}x+\sqrt{2}y=3에서 y을(를) -\sqrt{2}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$\sqrt{5}x+\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)=3$$

\sqrt{2}에 -\sqrt{2}을(를) 곱합니다.

$$\sqrt{5}x-2=3$$

수식의 양쪽에 2을(를) 더합니다.

$$\sqrt{5}x=5$$

양쪽을 \sqrt{5}(으)로 나눕니다.

$$x=\sqrt{5}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\sqrt{5},y=-\sqrt{2}$$