다음을 풀어보세요: {l}{x=3y+4}{y=1/2x-8/3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 3 y + 4 } \\ { y = \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 8 } { 3 } } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=8$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 3y을(를) 뺍니다.

$$x-3y=4$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 \frac{1}{2}x을(를) 뺍니다.

$$y-\frac{1}{2}x=-\frac{8}{3}$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x-3y=4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x-3y=4$$

수식의 양쪽에 3y을(를) 더합니다.

$$x=3y+4$$

다른 수식 -\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}에서 3y+4을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-\frac{1}{2}\left(3y+4\right)+y=-\frac{8}{3}$$

-\frac{1}{2}에 3y+4을(를) 곱합니다.

$$-\frac{3}{2}y-2+y=-\frac{8}{3}$$

-\frac{3y}{2}을(를) y에 추가합니다.

$$-\frac{1}{2}y-2=-\frac{8}{3}$$

수식의 양쪽에 2을(를) 더합니다.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{2}{3}$$

양쪽에 -2을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{4}{3}$$

x=3y+4에서 y을(를) \frac{4}{3}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=3\times \frac{4}{3}+4$$

3에 \frac{4}{3}을(를) 곱합니다.

$$x=4+4$$

4을(를) 4에 추가합니다.

$$x=8$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=8,y=\frac{4}{3}$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 3y을(를) 뺍니다.

$$x-3y=4$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 \frac{1}{2}x을(를) 뺍니다.

$$y-\frac{1}{2}x=-\frac{8}{3}$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x-3y=4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{2}}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&-6\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 4-6\left(-\frac{8}{3}\right)\\-4-2\left(-\frac{8}{3}\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=8,y=\frac{4}{3}$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 3y을(를) 뺍니다.

$$x-3y=4$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 \frac{1}{2}x을(를) 뺍니다.

$$y-\frac{1}{2}x=-\frac{8}{3}$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x-3y=4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

x 및 -\frac{x}{2}을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -\frac{1}{2}을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\left(-3\right)y=-\frac{1}{2}\times 4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

단순화합니다.

$$-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=-2,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=-2에서 -\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y-y=-2+\frac{8}{3}$$

-\frac{x}{2}을(를) \frac{x}{2}에 추가합니다. -\frac{x}{2} 및 \frac{x}{2}이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$\frac{3}{2}y-y=-2+\frac{8}{3}$$

\frac{3y}{2}을(를) -y에 추가합니다.

$$\frac{1}{2}y=-2+\frac{8}{3}$$

-2을(를) \frac{8}{3}에 추가합니다.

$$\frac{1}{2}y=\frac{2}{3}$$

양쪽에 2을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{4}{3}$$

-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}에서 y을(를) \frac{4}{3}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-\frac{1}{2}x+\frac{4}{3}=-\frac{8}{3}$$

수식의 양쪽에서 \frac{4}{3}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{1}{2}x=-4$$

양쪽에 -2을(를) 곱합니다.

$$x=8$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=8,y=\frac{4}{3}$$