다음을 풀어보세요: {l}{x+y=4}{4x-3y=-19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 4 } \\ { 4 x - 3 y = - 19 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-1$$

$$y=5$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x+y=4,4x-3y=-19$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x+y=4$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$x=-y+4$$

다른 수식 4x-3y=-19에서 -y+4을(를) x(으)로 치환합니다.

$$4\left(-y+4\right)-3y=-19$$

4에 -y+4을(를) 곱합니다.

$$-4y+16-3y=-19$$

-4y을(를) -3y에 추가합니다.

$$-7y+16=-19$$

수식의 양쪽에서 16을(를) 뺍니다.

$$-7y=-35$$

양쪽을 -7(으)로 나눕니다.

$$y=5$$

x=-y+4에서 y을(를) 5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-5+4$$

4을(를) -5에 추가합니다.

$$x=-1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-1,y=5$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x+y=4,4x-3y=-19$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\4&-3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-19\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-19\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-4}&-\frac{1}{-3-4}\\-\frac{4}{-3-4}&\frac{1}{-3-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-19\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{4}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-19\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 4+\frac{1}{7}\left(-19\right)\\\frac{4}{7}\times 4-\frac{1}{7}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-1,y=5$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x+y=4,4x-3y=-19$$

x 및 4x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$4x+4y=4\times 4,4x-3y=-19$$

단순화합니다.

$$4x+4y=16,4x-3y=-19$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 4x+4y=16에서 4x-3y=-19을(를) 뺍니다.

$$4x-4x+4y+3y=16+19$$

4x을(를) -4x에 추가합니다. 4x 및 -4x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$4y+3y=16+19$$

4y을(를) 3y에 추가합니다.

$$7y=16+19$$

16을(를) 19에 추가합니다.

$$7y=35$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$y=5$$

4x-3y=-19에서 y을(를) 5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$4x-3\times 5=-19$$

-3에 5을(를) 곱합니다.

$$4x-15=-19$$

수식의 양쪽에 15을(를) 더합니다.

$$4x=-4$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=-1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-1,y=5$$