다음을 풀어보세요: {l}{x+y=36}{5/7=x/y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 36 } \\ { \frac { 5 } { 7 } = \frac { x } { y } } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=15$$

$$y=21$$

치환을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 0으로 나누기가 정의되지 않았으므로 y 변수는 0과(와) 같을 수 없습니다. 수식의 양쪽을 7,y의 최소 공통 배수인 7y(으)로 곱합니다.

$$5y=7x$$

양쪽 모두에서 7x을(를) 뺍니다.

$$5y-7x=0$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x+y=36,-7x+5y=0$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x+y=36$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$x=-y+36$$

다른 수식 -7x+5y=0에서 -y+36을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-7\left(-y+36\right)+5y=0$$

-7에 -y+36을(를) 곱합니다.

$$7y-252+5y=0$$

7y을(를) 5y에 추가합니다.

$$12y-252=0$$

수식의 양쪽에 252을(를) 더합니다.

$$12y=252$$

양쪽을 12(으)로 나눕니다.

$$y=21$$

x=-y+36에서 y을(를) 21(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-21+36$$

36을(를) -21에 추가합니다.

$$x=15$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=15,y=21$$

행렬을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 0으로 나누기가 정의되지 않았으므로 y 변수는 0과(와) 같을 수 없습니다. 수식의 양쪽을 7,y의 최소 공통 배수인 7y(으)로 곱합니다.

$$5y=7x$$

양쪽 모두에서 7x을(를) 뺍니다.

$$5y-7x=0$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x+y=36,-7x+5y=0$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-7\right)}&-\frac{1}{5-\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{5-\left(-7\right)}&\frac{1}{5-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{1}{12}\\\frac{7}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\times 36\\\frac{7}{12}\times 36\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\21\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=15,y=21$$

소거를 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 0으로 나누기가 정의되지 않았으므로 y 변수는 0과(와) 같을 수 없습니다. 수식의 양쪽을 7,y의 최소 공통 배수인 7y(으)로 곱합니다.

$$5y=7x$$

양쪽 모두에서 7x을(를) 뺍니다.

$$5y-7x=0$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x+y=36,-7x+5y=0$$

x 및 -7x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -7을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$-7x-7y=-7\times 36,-7x+5y=0$$

단순화합니다.

$$-7x-7y=-252,-7x+5y=0$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -7x-7y=-252에서 -7x+5y=0을(를) 뺍니다.

$$-7x+7x-7y-5y=-252$$

-7x을(를) 7x에 추가합니다. -7x 및 7x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-7y-5y=-252$$

-7y을(를) -5y에 추가합니다.

$$-12y=-252$$

양쪽을 -12(으)로 나눕니다.

$$y=21$$

-7x+5y=0에서 y을(를) 21(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-7x+5\times 21=0$$

5에 21을(를) 곱합니다.

$$-7x+105=0$$

수식의 양쪽에서 105을(를) 뺍니다.

$$-7x=-105$$

양쪽을 -7(으)로 나눕니다.

$$x=15$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=15,y=21$$