다음을 풀어보세요: {l}{rx-ry=1}{rx-9y=r}

$$\left\{ \begin{array} { l } { r x - r y = 1 } \\ { r x - 9 y = r } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)}$$

$$y=-\frac{1-r}{r-9}$$

$$r\neq 9\text{ and }r\neq 0$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$rx+\left(-r\right)y=1,rx-9y=r$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$rx+\left(-r\right)y=1$$

수식의 양쪽에 ry을(를) 더합니다.

$$rx=ry+1$$

양쪽을 r(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{r}\left(ry+1\right)$$

\frac{1}{r}에 ry+1을(를) 곱합니다.

$$x=y+\frac{1}{r}$$

다른 수식 rx-9y=r에서 y+\frac{1}{r}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$r\left(y+\frac{1}{r}\right)-9y=r$$

r에 y+\frac{1}{r}을(를) 곱합니다.

$$ry+1-9y=r$$

ry을(를) -9y에 추가합니다.

$$\left(r-9\right)y+1=r$$

수식의 양쪽에서 1을(를) 뺍니다.

$$\left(r-9\right)y=r-1$$

양쪽을 r-9(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{r-1}{r-9}$$

x=y+\frac{1}{r}에서 y을(를) \frac{r-1}{r-9}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{r-1}{r-9}+\frac{1}{r}$$

\frac{1}{r}을(를) \frac{r-1}{r-9}에 추가합니다.

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)},y=\frac{r-1}{r-9}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$rx+\left(-r\right)y=1,rx-9y=r$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}&-\frac{-r}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}\\-\frac{r}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}&\frac{r}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{r\left(r-9\right)}&\frac{1}{r-9}\\-\frac{1}{r-9}&\frac{1}{r-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{r\left(r-9\right)}+\frac{1}{r-9}r\\-\frac{1}{r-9}+\frac{1}{r-9}r\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)}\\\frac{r-1}{r-9}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)},y=\frac{r-1}{r-9}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$rx+\left(-r\right)y=1,rx-9y=r$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 rx+\left(-r\right)y=1에서 rx-9y=r을(를) 뺍니다.

$$rx+\left(-r\right)x+\left(-r\right)y+9y=1-r$$

rx을(를) -rx에 추가합니다. rx 및 -rx이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$\left(-r\right)y+9y=1-r$$

-ry을(를) 9y에 추가합니다.

$$\left(9-r\right)y=1-r$$

양쪽을 -r+9(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{1-r}{9-r}$$

rx-9y=r에서 y을(를) \frac{1-r}{-r+9}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$rx-9\times \frac{1-r}{9-r}=r$$

-9에 \frac{1-r}{-r+9}을(를) 곱합니다.

$$rx-\frac{9\left(1-r\right)}{9-r}=r$$

수식의 양쪽에 \frac{9\left(1-r\right)}{-r+9}을(를) 더합니다.

$$rx=-\frac{\left(r-3\right)\left(r+3\right)}{9-r}$$

양쪽을 r(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{r^{2}-9}{r\left(9-r\right)}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{r^{2}-9}{r\left(9-r\right)},y=\frac{1-r}{9-r}$$