다음을 풀어보세요: {l}{kx+9y=18}{4x-5y=20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { kx + 9 y = 18 } \\ { 4 x - 5 y = 20 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=\frac{270}{5k+36}$$

$$y=-\frac{4\left(5k-18\right)}{5k+36}$$

$$k\neq -\frac{36}{5}$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$kx+9y=18,4x-5y=20$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$kx+9y=18$$

수식의 양쪽에서 9y을(를) 뺍니다.

$$kx=-9y+18$$

양쪽을 k(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{k}\left(-9y+18\right)$$

\frac{1}{k}에 -9y+18을(를) 곱합니다.

$$x=\left(-\frac{9}{k}\right)y+\frac{18}{k}$$

다른 수식 4x-5y=20에서 \frac{9\left(2-y\right)}{k}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$4\left(\left(-\frac{9}{k}\right)y+\frac{18}{k}\right)-5y=20$$

4에 \frac{9\left(2-y\right)}{k}을(를) 곱합니다.

$$\left(-\frac{36}{k}\right)y+\frac{72}{k}-5y=20$$

-\frac{36y}{k}을(를) -5y에 추가합니다.

$$\left(-5-\frac{36}{k}\right)y+\frac{72}{k}=20$$

수식의 양쪽에서 \frac{72}{k}을(를) 뺍니다.

$$\left(-5-\frac{36}{k}\right)y=20-\frac{72}{k}$$

양쪽을 -\frac{36}{k}-5(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{4\left(5k-18\right)}{5k+36}$$

x=\left(-\frac{9}{k}\right)y+\frac{18}{k}에서 y을(를) -\frac{4\left(-18+5k\right)}{36+5k}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\left(-\frac{9}{k}\right)\left(-\frac{4\left(5k-18\right)}{5k+36}\right)+\frac{18}{k}$$

-\frac{9}{k}에 -\frac{4\left(-18+5k\right)}{36+5k}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{36\left(5k-18\right)}{k\left(5k+36\right)}+\frac{18}{k}$$

\frac{18}{k}을(를) \frac{36\left(-18+5k\right)}{k\left(36+5k\right)}에 추가합니다.

$$x=\frac{270}{5k+36}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{270}{5k+36},y=-\frac{4\left(5k-18\right)}{5k+36}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$kx+9y=18,4x-5y=20$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\20\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\20\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{k\left(-5\right)-9\times 4}&-\frac{9}{k\left(-5\right)-9\times 4}\\-\frac{4}{k\left(-5\right)-9\times 4}&\frac{k}{k\left(-5\right)-9\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\20\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5k+36}&\frac{9}{5k+36}\\\frac{4}{5k+36}&-\frac{k}{5k+36}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\20\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5k+36}\times 18+\frac{9}{5k+36}\times 20\\\frac{4}{5k+36}\times 18+\left(-\frac{k}{5k+36}\right)\times 20\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{270}{5k+36}\\\frac{4\left(18-5k\right)}{5k+36}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{270}{5k+36},y=\frac{4\left(18-5k\right)}{5k+36}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$kx+9y=18,4x-5y=20$$

kx 및 4x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 k을(를) 곱합니다.

$$4kx+4\times 9y=4\times 18,k\times 4x+k\left(-5\right)y=k\times 20$$

단순화합니다.

$$4kx+36y=72,4kx+\left(-5k\right)y=20k$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 4kx+36y=72에서 4kx+\left(-5k\right)y=20k을(를) 뺍니다.

$$4kx+\left(-4k\right)x+36y+5ky=72-20k$$

4kx을(를) -4kx에 추가합니다. 4kx 및 -4kx이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$36y+5ky=72-20k$$

36y을(를) 5ky에 추가합니다.

$$\left(5k+36\right)y=72-20k$$

양쪽을 36+5k(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{4\left(18-5k\right)}{5k+36}$$

4x-5y=20에서 y을(를) \frac{4\left(18-5k\right)}{36+5k}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$4x-5\times \frac{4\left(18-5k\right)}{5k+36}=20$$

-5에 \frac{4\left(18-5k\right)}{36+5k}을(를) 곱합니다.

$$4x-\frac{20\left(18-5k\right)}{5k+36}=20$$

수식의 양쪽에 \frac{20\left(18-5k\right)}{36+5k}을(를) 더합니다.

$$4x=\frac{1080}{5k+36}$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{270}{5k+36}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{270}{5k+36},y=\frac{4\left(18-5k\right)}{5k+36}$$