다음을 풀어보세요: {l}{8x+3y=25}{2x+3y=13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 3 y = 25 } \\ { 2 x + 3 y = 13 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=2$$

$$y=3$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$8x+3y=25,2x+3y=13$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$8x+3y=25$$

수식의 양쪽에서 3y을(를) 뺍니다.

$$8x=-3y+25$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{8}\left(-3y+25\right)$$

\frac{1}{8}에 -3y+25을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{3}{8}y+\frac{25}{8}$$

다른 수식 2x+3y=13에서 \frac{-3y+25}{8}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$2\left(-\frac{3}{8}y+\frac{25}{8}\right)+3y=13$$

2에 \frac{-3y+25}{8}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{25}{4}+3y=13$$

-\frac{3y}{4}을(를) 3y에 추가합니다.

$$\frac{9}{4}y+\frac{25}{4}=13$$

수식의 양쪽에서 \frac{25}{4}을(를) 뺍니다.

$$\frac{9}{4}y=\frac{27}{4}$$

수식의 양쪽을 \frac{9}{4}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=3$$

x=-\frac{3}{8}y+\frac{25}{8}에서 y을(를) 3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{3}{8}\times 3+\frac{25}{8}$$

-\frac{3}{8}에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-9+25}{8}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{25}{8}을(를) -\frac{9}{8}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=2,y=3$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$8x+3y=25,2x+3y=13$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\13\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\13\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-3\times 2}&-\frac{3}{8\times 3-3\times 2}\\-\frac{2}{8\times 3-3\times 2}&\frac{8}{8\times 3-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\13\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{9}&\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\13\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 25-\frac{1}{6}\times 13\\-\frac{1}{9}\times 25+\frac{4}{9}\times 13\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=2,y=3$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$8x+3y=25,2x+3y=13$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 8x+3y=25에서 2x+3y=13을(를) 뺍니다.

$$8x-2x+3y-3y=25-13$$

3y을(를) -3y에 추가합니다. 3y 및 -3y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$8x-2x=25-13$$

8x을(를) -2x에 추가합니다.

$$6x=25-13$$

25을(를) -13에 추가합니다.

$$6x=12$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$x=2$$

2x+3y=13에서 x을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2\times 2+3y=13$$

2에 2을(를) 곱합니다.

$$4+3y=13$$

수식의 양쪽에서 4을(를) 뺍니다.

$$3y=9$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$y=3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=2,y=3$$