다음을 풀어보세요: {l}{8x+20y=11400}{10x+30y=22500}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 20 y = 11400 } \\ { 10 x + 30 y = 22500 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-2700$$

$$y=1650$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$8x+20y=11400,10x+30y=22500$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$8x+20y=11400$$

수식의 양쪽에서 20y을(를) 뺍니다.

$$8x=-20y+11400$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{8}\left(-20y+11400\right)$$

\frac{1}{8}에 -20y+11400을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{5}{2}y+1425$$

다른 수식 10x+30y=22500에서 -\frac{5y}{2}+1425을(를) x(으)로 치환합니다.

$$10\left(-\frac{5}{2}y+1425\right)+30y=22500$$

10에 -\frac{5y}{2}+1425을(를) 곱합니다.

$$-25y+14250+30y=22500$$

-25y을(를) 30y에 추가합니다.

$$5y+14250=22500$$

수식의 양쪽에서 14250을(를) 뺍니다.

$$5y=8250$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$y=1650$$

x=-\frac{5}{2}y+1425에서 y을(를) 1650(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{5}{2}\times 1650+1425$$

-\frac{5}{2}에 1650을(를) 곱합니다.

$$x=-4125+1425$$

1425을(를) -4125에 추가합니다.

$$x=-2700$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-2700,y=1650$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$8x+20y=11400,10x+30y=22500$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{30}{8\times 30-20\times 10}&-\frac{20}{8\times 30-20\times 10}\\-\frac{10}{8\times 30-20\times 10}&\frac{8}{8\times 30-20\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 11400-\frac{1}{2}\times 22500\\-\frac{1}{4}\times 11400+\frac{1}{5}\times 22500\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2700\\1650\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-2700,y=1650$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$8x+20y=11400,10x+30y=22500$$

8x 및 10x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 10을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 8을(를) 곱합니다.

$$10\times 8x+10\times 20y=10\times 11400,8\times 10x+8\times 30y=8\times 22500$$

단순화합니다.

$$80x+200y=114000,80x+240y=180000$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 80x+200y=114000에서 80x+240y=180000을(를) 뺍니다.

$$80x-80x+200y-240y=114000-180000$$

80x을(를) -80x에 추가합니다. 80x 및 -80x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$200y-240y=114000-180000$$

200y을(를) -240y에 추가합니다.

$$-40y=114000-180000$$

114000을(를) -180000에 추가합니다.

$$-40y=-66000$$

양쪽을 -40(으)로 나눕니다.

$$y=1650$$

10x+30y=22500에서 y을(를) 1650(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$10x+30\times 1650=22500$$

30에 1650을(를) 곱합니다.

$$10x+49500=22500$$

수식의 양쪽에서 49500을(를) 뺍니다.

$$10x=-27000$$

양쪽을 10(으)로 나눕니다.

$$x=-2700$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-2700,y=1650$$