다음을 풀어보세요: {l}{78x+40y=1280}{120x+8y=2800}

x, y에 대한 해

치환을 사용한 단계

그래프

퀴즈

Simultaneous Equation

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https://math.stackexchange.com/questions/2197896/solve-system-of-equations-using-calculus-linear-algebra

https://math.stackexchange.com/q/2427470

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78x+40y=1280,120x+8y=2800

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

78x+40y=1280

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

78x=-40y+1280

수식의 양쪽에서 40y을(를) 뺍니다.

x=\frac{1}{78}\left(-40y+1280\right)

양쪽을 78(으)로 나눕니다.

x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}

\frac{1}{78}에 -40y+1280을(를) 곱합니다.

120\left(-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}\right)+8y=2800

다른 수식 120x+8y=2800에서 \frac{-20y+640}{39}을(를) x(으)로 치환합니다.

-\frac{800}{13}y+\frac{25600}{13}+8y=2800

120에 \frac{-20y+640}{39}을(를) 곱합니다.

-\frac{696}{13}y+\frac{25600}{13}=2800

-\frac{800y}{13}을(를) 8y에 추가합니다.

-\frac{696}{13}y=\frac{10800}{13}

수식의 양쪽에서 \frac{25600}{13}을(를) 뺍니다.

y=-\frac{450}{29}

수식의 양쪽을 -\frac{696}{13}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

x=-\frac{20}{39}\left(-\frac{450}{29}\right)+\frac{640}{39}

x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}에서 y을(를) -\frac{450}{29}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

x=\frac{3000}{377}+\frac{640}{39}

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{20}{39}에 -\frac{450}{29}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

x=\frac{2120}{87}

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{640}{39}을(를) \frac{3000}{377}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

x=\frac{2120}{87},y=-\frac{450}{29}

시스템이 이제 해결되었습니다.

78x+40y=1280,120x+8y=2800

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)

\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{78\times 8-40\times 120}&-\frac{40}{78\times 8-40\times 120}\\-\frac{120}{78\times 8-40\times 120}&\frac{78}{78\times 8-40\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{522}&\frac{5}{522}\\\frac{5}{174}&-\frac{13}{696}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)

산술 연산을 수행합니다.

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{522}\times 1280+\frac{5}{522}\times 2800\\\frac{5}{174}\times 1280-\frac{13}{696}\times 2800\end{matrix}\right)

행렬을 곱합니다.

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2120}{87}\\-\frac{450}{29}\end{matrix}\right)

산술 연산을 수행합니다.

x=\frac{2120}{87},y=-\frac{450}{29}

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

78x+40y=1280,120x+8y=2800

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

120\times 78x+120\times 40y=120\times 1280,78\times 120x+78\times 8y=78\times 2800

78x 및 120x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 120을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 78을(를) 곱합니다.

9360x+4800y=153600,9360x+624y=218400

단순화합니다.

9360x-9360x+4800y-624y=153600-218400