다음을 풀어보세요: {l}{7x-6y=-30}{x-4y=-20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x - 6 y = - 30 } \\ { x - 4 y = - 20 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=0$$

$$y=5$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$7x-6y=-30,x-4y=-20$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$7x-6y=-30$$

수식의 양쪽에 6y을(를) 더합니다.

$$7x=6y-30$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{7}\left(6y-30\right)$$

\frac{1}{7}에 -30+6y을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{6}{7}y-\frac{30}{7}$$

다른 수식 x-4y=-20에서 \frac{-30+6y}{7}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$\frac{6}{7}y-\frac{30}{7}-4y=-20$$

\frac{6y}{7}을(를) -4y에 추가합니다.

$$-\frac{22}{7}y-\frac{30}{7}=-20$$

수식의 양쪽에 \frac{30}{7}을(를) 더합니다.

$$-\frac{22}{7}y=-\frac{110}{7}$$

수식의 양쪽을 -\frac{22}{7}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=5$$

x=\frac{6}{7}y-\frac{30}{7}에서 y을(를) 5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{6}{7}\times 5-\frac{30}{7}$$

\frac{6}{7}에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{30-30}{7}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{30}{7}을(를) \frac{30}{7}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=0$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=0,y=5$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$7x-6y=-30,x-4y=-20$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}7&-6\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-30\\-20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&-6\\1&-4\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-6\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-6\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-6\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-20\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-6\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-20\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-6\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7\left(-4\right)-\left(-6\right)}&-\frac{-6}{7\left(-4\right)-\left(-6\right)}\\-\frac{1}{7\left(-4\right)-\left(-6\right)}&\frac{7}{7\left(-4\right)-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\-20\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&-\frac{3}{11}\\\frac{1}{22}&-\frac{7}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\-20\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\left(-30\right)-\frac{3}{11}\left(-20\right)\\\frac{1}{22}\left(-30\right)-\frac{7}{22}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=0,y=5$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$7x-6y=-30,x-4y=-20$$

7x 및 x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 7을(를) 곱합니다.

$$7x-6y=-30,7x+7\left(-4\right)y=7\left(-20\right)$$

단순화합니다.

$$7x-6y=-30,7x-28y=-140$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 7x-6y=-30에서 7x-28y=-140을(를) 뺍니다.

$$7x-7x-6y+28y=-30+140$$

7x을(를) -7x에 추가합니다. 7x 및 -7x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-6y+28y=-30+140$$

-6y을(를) 28y에 추가합니다.

$$22y=-30+140$$

-30을(를) 140에 추가합니다.

$$22y=110$$

양쪽을 22(으)로 나눕니다.

$$y=5$$

x-4y=-20에서 y을(를) 5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x-4\times 5=-20$$

-4에 5을(를) 곱합니다.

$$x-20=-20$$

수식의 양쪽에 20을(를) 더합니다.

$$x=0$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=0,y=5$$